安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 3 < x < 2} ， B = {x ∣ x < - 3$ 或 $x > 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 3] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. $\frac{3 + i}{i} - (1 - 2 i) =$ （）

A、 $- i$ B、 $5 i$ C、 $1 - 4 i$ D、 $1 + i$

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3. 若“ $0 < x < 3$ ”是“ $x > l o g_{2} a$ ”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 8)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， + ∞)$

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4. 打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为 $a$ ，半球的半径为 $R$ ，石臼的体积为 $\frac{3}{4} a^{3}$ ，则 $\frac{a}{R} =$ （）

A、 $2 \sqrt[3]{\frac{2 π}{3}}$ B、 $2 \sqrt[3]{\frac{π}{3}}$ C、 $\frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{3}{π}}$ D、 $2 \sqrt[3]{\frac{π}{9}}$

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5. 已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示， $A O^{'} ， B C$ 分别对应圆柱两底面的直径， $A O^{'} = \sqrt{2} ， C O^{'} = \frac{\sqrt{2}}{2} ， ∠ A O^{'} C = 4 5^{∘}$ ，则该圆柱的表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $4 π$ C、 $3 π$ D、 $2 π$

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6. 已知 $A ， B$ 是半径为1的圆 $O$ 上的两个动点， $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} \cdot \vec{O B} |$ ，则 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $1 - \sqrt{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω$ 为正整数， $0 < φ < π)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， π)$ 上单调，且 $f (π) = f (\frac{3 π}{2})$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $x_{1} - x_{2}$ 与 $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})$ 同号，若 $a = \frac{2 f (0.5 e^{0.5})}{e^{0.5}} ， b = \frac{f (2 - e)}{2 - e} ， c = - \frac{f (- 2^{0.5})}{2^{0.5}}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 用一个平面去截棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若该平面过点 $A ， C ， B_{1}$ ，则截面的周长为6 B、若该平面过点 $A ， C ， B_{1}$ ，则截得的两个几何体的外接球体积相等 C、若该平面过点 $A ， D ， B_{1}$ ，则截得的两个几何体的表面积均为 $3 + \sqrt{2}$ D、若该平面过点 $D ， B_{1}$ ，则其截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球所得的截面面积不是定值

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10. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2) ， \vec{b} = (1 ， 3)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ C、与 $\vec{a}$ 共线的单位向量 $\vec{e} = (\frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{3}{2})$

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11. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{4 s i n A - \sqrt{3} c o s A}{a} = \frac{s i n B}{b} ， a = 2$ ，则使得 $c = 2$ 的条件可以为（）

A、 $s i n B = \sqrt{3} s i n C$ B、 $b = 4 s i n A$ C、 $B + C = 2 A$ D、 $\frac{\vec{C B} \cdot \vec{C A}}{| \vec{C A} |} = \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n \frac{π}{2} x}{2 x^{2} - 4 x + 3}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为1 B、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 C、若 $f (x) \leq m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 $[1 ， + \infty)$ D、直线 $y = - 1$ 与 $f (x)$ 的图象没有公共点

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三、填空题

13. 已知复数 $z = m + (2 m - 1) i$ 的模是 $\sqrt{10}$ 且其虚部大于0，则实数 $m =$ .

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14. 若平面上不共线的四点 $O ， A ， B ， C$ 满足 $\vec{O A} + 3 \vec{O C} = 4 \vec{O B}$ ，且 $| \vec{B C} | = 2$ ，则 $| \vec{A B} | =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = e^{| l n x - a |} (a \in R)$ ，记关于 $x$ 的方程 $f (x) = e$ 的所有实数根的乘积为 $g (a)$ ，若 $g (m^{2} - 2 m - 3) < 1$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知在等腰 $△ A B C$ 中， $c o s A = - \frac{1}{8} ， B C = 3$ ，点 $F$ 为边 $A C$ 的中点，则 $\vec{F B}$ 在 $\vec{F A}$ 上的投影向量的长度为.

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四、解答题

17. 油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为 $90 c m$ ，顶点到下边沿上任一点的长度为 $100 c m$ .

(1)、若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？

(2)、若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油 $\frac{π}{30} k g$ ，则刷一个这样的油纸伞需要多少千克桐油？（参考数据： $π^{2} \approx 9.9$ ）

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18. 已知在复平面内表示复数 $z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} + 3 m - 4) i$ 的点为 $Z$ .

(1)、若点 $Z$ 在函数 $y = - 2 x - 6$ 的图象上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，点A在 $x$ 轴的正半轴上，且向量 $\vec{O Z}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知 $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $s i n C c o s (B + \frac{π}{3}) = c o s C s i n (B + \frac{4 π}{3})$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b c = 16$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{3 π}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{2} c o s^{2} x - \sqrt{2} s i n^{2} x$ ，若 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， m]$ 上的取值范围是 $[0 ， 1]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，在四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = 2 \vec{C B} ， \vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B A} ， \vec{C P} = x \vec{C B} (0 \leq x \leq 1) ， \vec{B A} \cdot \vec{B C} + {\vec{B O}}^{2} = (\vec{B A} + \vec{B C}) \cdot \vec{B O}$

(1)、证明 $： O A ⊥ O C$ ；

(2)、设 $\vec{O M} = λ \vec{C A} + μ \vec{O P}$ ，求 $λ \cdot μ$ 的最大值，并求 $λ \cdot μ$ 取得最大值时 $x$ 的值为多少.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + a) - x$ 是偶函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求方程 $f (x) - x = 1$ 的实根的个数；

(3)、若函数 $g (x) = 2^{f (x)}$ 与 $h (x) = (n - 1) 2^{x} - n$ 的图象有且只有一个公共点，求实数 $n$ 的取值范围.

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