安徽省省十联考2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， N = {x | l g (x - 2) < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < 3}$ C、 ${x | - 3 < x < 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知i是虚数单位，若 $| 1 + a i | = 5$ ，则实数a=（）

A、2 B、2 $\sqrt{6}$ C、-2 D、±2 $\sqrt{6}$

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3. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (2 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、（ $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ） C、（ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ） D、（4，2）

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4. “ $α = \frac{π}{6} + 2 k π$ ， $k \in Z$ ”是“ $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 计算： $c o s 105 ° c o s 45 ° + s i n 255 ° s i n 135 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{2 π - \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{π - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 π + \sqrt{3}}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) （ A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0 ）$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为f（x）的零点，在已知 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的条件下，下列选项中可以确定其值的量为（）

A、Asinφ B、 $ω$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、φ

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8. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c^{2} = a (a + b)$ ，则sinA的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是非零向量，则 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} |$ B、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ C、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是非零向量，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$

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10. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq 2$ C、 $a^{3} + b^{3} \leq 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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11. $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则“ $△ A B C$ 是直角三角形”的充分条件是（）

A、 $s i n A = c o s B$ B、 $s i n 2 A + s i n 2 B = s i n 2 C$ C、 $a c o s A = b c o s B$ D、 $a c o s B = c$

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12. 已知 $0 < x < \frac{π}{4}$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $s i n (s i n x) < c o s (s i n x)$ B、 $s i n (c o s x) < c o s (s i n x)$ C、 $c o s (c o s x) < s i n (c o s x)$ D、 $s i n (s i n x) < c o s (c o s x)$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， k)$ ， $\vec{b} = (2 ， k - 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ ，则实数 $k =$ .

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14. 求值： ${(l g 5)}^{2} - {(l g 2)}^{2} + \frac{2}{1 + l o g_{2} 5} =$ .

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15. 已知 $t a n (2 α + β) = 3 ， t a n (α + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则tanβ=.

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16. $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = {\vec{A C}}^{2} = \frac{1}{2} {\vec{A B}}^{2}$ ，点P为 $△ A B C$ 所在平面内一点且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则C= ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， - 1) ， \vec{b} = (0 ， 1)$ ，在① $(t \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + t \vec{b})$ ；② $| t \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} + t \vec{b} |$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题

(1)、若，求实数t的值；

(2)、若向量 $\vec{c} = (x ， y)$ ，且 $\vec{c} = - y \vec{a} + (1 - x) \vec{b}$ ，求 $| \vec{c} |$ .

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18. 已知z是复数， $z + 2 i$ 和 $\frac{z}{1 - i}$ 均为实数，其中i是虚数单位.

(1)、求复数z的共轭复数 $\bar{z}$ ；

(2)、记 $z_{1} = z + \frac{1}{m} - \frac{m}{m - 1} i$ ，若复数 $z_{1}$ 对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

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19. 已知角 $θ$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P $(x ， y)$ ，若点 $P$ 位于 $x$ 轴上方且 $x + y = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $s i n θ - c o s θ$ 的值；

(2)、求 $s i n^{4} θ + c o s^{4} θ$ 的值.

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20. 设函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + m$ ．其中 $m ， x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求实数 $m$ 的值，使函数 $f (x)$ 的值域恰为 $[\frac{1}{2} ， \frac{7}{2}]$ ，并求此时 $f (x)$ 在 $R$ 上的对称中心．

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21. 如图，两个直角三角板拼在一起， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ .

(1)、若记 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $A C = 1$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{C D}$

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22. 某公园计划改造一块四边形区域 $A B C D$ 铺设草坪，其中 $A B = 2$ 百米， $B C = 1$ 百米， $A D = C D$ ， $A D ⊥ C D$ ，草坪内需要规划4条人行道 $D M$ ， $D N$ ， $E M$ ， $E N$ 以及两条排水沟 $A C$ ， $B D$ ，其中 $M$ ， $N$ ， $E$ 分别为边 $B C$ ， $A B$ ， $A C$ 的中点．

(1)、若 $∠ A B C = 90 °$ ，求排水沟 $B D$ 的长；

(2)、当 $∠ A B C$ 变化时，求4条人行道总长度的最大值．

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