安徽省省十联考2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一质点作直线运动，其位移s（t）（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足关系 $s (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 3 t - 1$ ，则该质点在第 $3 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $18 m / s$ B、 $21 m / s$ C、 $25 m / s$ D、 $27 m / s$

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2. 保家卫国是每个公民应尽的义务，是一种神圣的职责，捍卫国家安全是每个公民的使命．防止外敌入侵，是中国军人的最高责任、最神圣的任务和最明确的目标，为增强学生爱国意识，激发学生爱国热情，某校组织学生进行爱国观影活动，备选影片有《建军大业》《我的1919》《湄公河行动》《空天猎》《厉害了我的国》5部，若甲、乙、丙三位同学每人只能选择观看其中一部影片，则不同的选择结果共有（）

A、10种 B、27种 C、60种 D、125种

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3. 已知函数 $f (x) = l n x + f^{'} (1) x^{2} + f (1) x + 2$ ，则f（e）＝（）

A、 $\frac{1}{e} - 2 e + 1$ B、 $2 e^{2} + 5 e + 1$ C、 $\frac{1}{e} - 4 e + 1$ D、 $- 2 e^{2} + e + 3$

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4. 在项数为m的等差数列 ${a_{n}}$ 中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为950，则m＝（）

A、16 B、17 C、19 D、21

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5. 某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 $\frac{2}{3}$ ，则该气球上升到70m高度至少要经过（）

A、3分钟 B、4分钟 C、5分钟 D、6分钟

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6. 著名的斐波那契数列 ${a_{n}}$ ：1，1，2，3，5，8，…，满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $1 + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + ⋯ + a_{2023}$ 是斐波那契数列中的（）.

A、第2022项 B、第2023项 C、第2024项 D、第2025项

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7. 若 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + ⋯ + C_{19}^{3} = C_{20}^{m} ， A_{2 n}^{2} = A_{3}^{2} A_{n}^{2}$ ，则 $m + n =$ （）

A、6 B、7 C、6或18 D、7或21

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8. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} (4 a_{n} + 4 \sqrt{a_{n}} + \frac{n + 1}{2}) = a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2023}$ 的值所在的区间是（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ C、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{2}{3})$

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二、多选题

9. 下列函数的求导运算正确的是（）

A、 ${(s i n 2 x + 1)}^{^{'}} = 2 c o s 2 x$ B、 ${(\frac{α^{x}}{a})}^{^{'}} = \frac{a^{x} l n a - a^{x}}{a^{2}}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ） C、 ${(x l o g_{a} x)}^{^{'}} = l o g_{a} x + \frac{1}{l n a}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ） D、 ${(c o s^{2} x)}^{^{'}} = - s i n 2 x$

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10. 已知 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x})}^{6}$ ，则关于其展开式的结论正确的是（）

A、常数项是160 B、二项式系数的和为64 C、含 $x^{2}$ 项的系数是－192 D、所有项的系数和为1

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，直线 $y = x + a$ 与曲线 $y = e^{x - 1} - 4 b + 1$ 相切，则（）

A、ab的最大值为 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为25 C、 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ D、 $\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}$ 的最大值为2

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12. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则（）

A、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，对给定的正整数 $k ， S_{k} ， S_{2 k} - S_{k} ， S_{3 k} - S_{2 k}$ 不一定成等差数列 B、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，对给定的正整数 $k ， S_{k} ， S_{2 k} - S_{k} ， S_{3 k} - S_{2 k}$ 不一定成等比数列 C、若 $a_{n} = \frac{n}{n + a} (a \neq 0)$ ，且 ${a_{n}}$ 的最大项为第9项，则 $- 9 < a < - 8$ D、若 $a_{n} = | 13 - n |$ 且 $a_{k} + a_{k + 1} + ⋯ + a_{k + 19} = 102$ （其中 $k \in N^{*}$ ），则 $k = 2$

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三、填空题

13. $- 3 C_{8}^{1} + 3^{2} C_{8}^{2} - 3^{3} C_{8}^{3} + 3^{4} C_{8}^{4} - 3^{5} C_{8}^{5} + 3^{6} C_{8}^{6} - 3^{7} C_{8}^{7} + 3^{8} C_{8}^{8} =$ ．

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14. 在数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + ⋯ + \frac{1}{n - 1} a_{n - 1}$ ，则其通项公式为 $a_{n} =$ ．

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15. 某集团派遣5位监事会成员去集团下属的3家子公司进行行政监察，3家子公司每家至少派遣1位监事会成员，每位监事会成员必去且只能去一家子公司，则共有种派遣方案；若监事会成员A和B不去同一家子公司，则共有种派遣方案．

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16. 若等差数列 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ 满足 $| a_{1} | + | a_{2} | + ⋯ + | a_{n} | = | a_{1} + 1 | + | a_{2} + 1 |$ $+ ⋯ + | a_{n} + 1 | = | a_{1} - 2 | + | a_{2} - 2 | + ⋯ + | a_{n} - 2 | = 2023$ ，则n的最大值为．

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四、解答题

17. 若 ${(x + 2)}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2023} x^{2023}$ ， $T = a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2023}$ ．

(1)、求 $T$ 的大小（用指数式表示）；

(2)、求 $2 T$ 除以 $4$ 所得的余数．

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且0和2是关于x的方程 $f^{'} (x) = 0$ 的两个实数根， $f (1) = 1 ， f^{'} (1) = - 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $a_{n} > 0$ ， ____．在① $S_{11} = 66$ ；② $a_{3} ， a_{9} ， 9 a_{3}$ 成等比数列；③ $S_{n} - n a_{n} = \frac{n - n^{2}}{2}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ }的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{a_{n}} + 2 a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层筛选，有5人通过入伍审核．

(1)、若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

(2)、若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

(3)、若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各1人，且入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，求所有可能结果有多少种？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2 ， a_{4} = b_{3} = 8$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} \cdot b_{n}}{2}}$ |的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、构造数列 $\sqrt{2^{a_{1}}} ， \sqrt{2^{a_{2}}} ， \sqrt{2^{a_{3}}} ， ⋯ ， \sqrt{2^{a_{m}}} ， \sqrt{2^{a_{m + 1}}} ， \sqrt{2^{a_{m}}} ， \sqrt{2^{a_{m - 1}}} ， ⋯ ， \sqrt{2^{a_{2}}} ， \sqrt{2^{a_{1}}}$ （ $m \in N^{*}$ ），若 $m > 1500$ ，求该数列前2023项和 $S_{2023}$ ．

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22. 设函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a e^{x}$ ， $g (x) = - 2 - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、若在y轴右侧，函数 $f (x)$ 图象恒不在函数 $g (x)$ 的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} < l n (2 n + 1)$ .

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