安徽省庐江巢湖七校联盟2022-2023学年高一下学期数学3月期中试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a} = \pm \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{a}$

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3. 在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{5} ， B C = 2$ ，若 $P$ 为边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、0

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $A B$ 的中点， $D M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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5. 已知在 $△ A B C$ 中， $s i n A ： s i n B ： s i n C = 4 ： 3 ： 2$ ，则 $c o s B$ 等于（）

A、 $\frac{11}{16}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{21}{16}$ D、 $\frac{29}{16}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 λ ， 2 - 4 λ)$ ， $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $| m |$ 取最小值时，实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{36}{25}$ D、 $\frac{28}{5}$

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7. 已知O，N，P在 $Δ A B C$ 所在平面内，且 $| \bar{O A} | = | \bar{O B} | = | \bar{O C} | ， \bar{N A} + \bar{N B} + \bar{N C} = 0$ ，且 $\bar{P A} • \bar{P B} = \bar{P B} • \bar{P C} = \bar{P C} • \bar{P A}$ ，则点O，N，P依次是 $Δ A B C$ 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A、重心外心垂心 B、重心外心内心 C、外心重心垂心 D、外心重心内心

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8. 已知非零向量 $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{A C}$ 满足 $(\frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |} + \frac{\overset{⇀}{A C}}{| \overset{⇀}{A C} |}) \cdot \overset{⇀}{B C} = 0$ 且 $\frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |} \cdot \frac{\overset{⇀}{A C}}{| \overset{⇀}{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 D、等腰直角三角形

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二、多选题

9. 设两个非零向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 不共线，如果 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 共线，那么k的可能取值是（）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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10. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ C A D = 60 °$ B、A、D之间的距离为 $15 \sqrt{2}$ 海里 C、A、B两处岛屿间的距离为 $15 \sqrt{6}$ 海里 D、B、D之间的距离为 $30 \sqrt{3}$ 海里

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11. 我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形 $A B C D$ 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为 $1 ： 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{5} | \vec{A E} | = 2 | \vec{D C} |$ B、 $\vec{A C} ⊥ \vec{E G}$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{D C} = \frac{4}{5} {| \vec{B C} |}^{2}$ D、 $\vec{A F} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A D}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B < s i n^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 B、若acosB＝bcosA＋c，则 $△ A B C$ 一定是直角三角形 C、若 $c o s^{2} \frac{B}{2} = \frac{a + c}{2 c}$ ，则 $△ A B C$ 一定是锐角三角形 D、若tanA＋tanB＋tanC＞0，则 $△ A B C$ 一定是锐角三角形

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b c o s C + c s i n B = a ， b = 4$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为.

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14. $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $6 0^{∘}$ 的两个单位向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD= $\sqrt{2}$ ， E为BC中点，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 3$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ .

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16. 在平面向量中有如下定理：设点 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 为同一平面内的点，则 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 三点共线的充要条件是：存在实数 $t$ ，使 $\vec{O P} = (1 - t) \vec{O Q} + t \vec{O R}$ ．试利用该定理解答下列问题：
如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 为 $A B$ 边的中点，点 $F$ 在 $A C$ 边上，且 $C F = 2 F A$ ， $B F$ 交 $C E$ 于点 $M$ ，设 $\vec{A M} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ ，则 $x + y =$ __．

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1) .$

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值；

(3)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值.

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C，且 $s i n B = 2 s i n C$ ， $a^{2} = c^{2} + b c$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求△ABC的周长l.

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19. 已知 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 1$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线.

(1)、若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $45 °$ ，求 $(2 \vec{a} - \vec{b}) • (\vec{a} + \vec{b})$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的钝角，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东 $75 °$ 的方向上，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西 $30 °$ 的方向上，距离为 $8 \sqrt{3}$ 海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东 $60 °$ 方向上，求：

(1)、AD的距离；

(2)、CD的距离．

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21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin²B+sin²C﹣sin²A+sinBsinC＝0；③ $a^{2} - b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ 请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量 $\vec{m}$ ＝（4sinx，4 $\sqrt{3}$ ）， $\vec{n}$ ＝（cosx，sin²x），函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 2 \sqrt{3}$ 在△ABC中， $a = f (\frac{π}{3})$ ，且__________，求2b+c的取值范围．

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22. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{a} + k \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - k \vec{b} |$ ．

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，求 $k$ 的值；

(2)、记 $f (k) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4} (k^{2} - 3 k - \frac{1}{k} + 3)$ ，是否存在实数 $x$ ，使得 $f (k) \geq 1 - t x$ 对任意的 $t \in [- 1 ， 1]$ 恒成立？若存在，求出实数 $x$ 的取值范围；若不存在，试说明理由．

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