安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前15项和为45，若 $a_{3} = - 10$ ，则 $a_{13} =$ （）

A、16 B、55 C、-16 D、35

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2. 设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{2 Δ x} =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$ B、 $2 f^{'} (- x_{0})$ C、 $f^{'} (x_{0})$ D、 $2 f^{'} (x_{0})$

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3. 已知等比数列{ $a_{n}$ }，且 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 5$ ，则 $a_{3}$ 的值为（　　）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、± $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} a_{n} + 1} (n \in N_{+})$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 设函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2}$ ， $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，则函数 $g (x) = f^{'} (x) c o s x$ 的部分图像可以为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、240种

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7. 定义 $\frac{n}{p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n}}$ 为 $n$ 个正数 $p_{1} ， p_{2} ， ⋯ p_{n}$ 的“均倒数”，若已知数 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的“均倒数”为 $\frac{1}{3 n + 1}$ ，又 $b_{n} = \frac{a_{n} + 2}{6}$ ，则 $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + ⋯ \frac{1}{b_{9} b_{10}} =$

A、 $\frac{1}{11}$ B、 $\frac{10}{11}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{11}{12}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 2 ， x \leq 0 \\ \frac{e l n x}{x} ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 3 m$ 有 $4$ 个不同的零点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{2}{3})$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{1}{3})$

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二、多选题

9. 下列选项正确的是（）

A、 $y = l n 2$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $f^{'} (3) = - \frac{2}{27}$ C、 ${(x^{3} e^{x})}^{^{'}} = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x}$ D、 ${(\frac{2 s i n x}{x^{2}})}^{^{'}} = \frac{2 c o s x}{2 x}$

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10. 关于 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{7}$ 的二项展开式，下列说法正确的是（）

A、二项式系数和为128 B、各项系数和为 $- 7$ C、 $x^{- 1}$ 项的系数为 $- 280$ D、第三项和第四项的系数相等

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11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为Sn，公差为d．已知 $a_{3} = 12$ ， S₁₂＞0， $a_{7} < 0$ ，则（）

A、 $a_{6} > 0$ B、 $- \frac{24}{7} < d < - 3$ C、Sn＜0时，n的最小值为14 D、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 中最小项为第7项

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12. 已知函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．则当x＞0时，下列说法中正确的是（）

A、f（2）＝ln2＋1 B、x＝2是函数f（x）的极大值点 C、函数y＝f（x）－x有且只有一个零点 D、存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = l n (x + 1)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 二项式 $(1 + 3 x) (1 - 2 x)^{5}$ 的展开式中的 $x^{4}$ 项的系数为.

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15. 如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， n = 1 \\ l o g_{n} (n + 1) ， n \geq 2 ， n \in N^{*} \end{array}$ ，定义使 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} ⋯ a_{k}$ （ $k \in N^{*}$ ）为整数的k叫做“幸福数”，则区间 $[1 ， 2022]$ 内所有“幸福数”的和为．

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四、解答题

17. $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{7} = 1$ ， $S_{4} = - 32$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值.

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18. 设 $x = - 3$ 是函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 3 x + c$ 的一个极值点，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为8.

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在闭区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为10，求 $c$ 的值.

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19.

(1)、高二（10）班元旦晚会有2个唱歌节目a和b；2个相声节目c和d．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，列出所有可能的排列.

(2)、甲乙丙丁戊已庚7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少种不同排法？（结果用数字表示）

(3)、从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训，要求有男有女且至少有2名男教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）

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20. 如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ．）

(1)、写出运输时间 $t (x)$ 关于x的函数；

(2)、当C选在何处时运输时间最短？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，当 $n \in N^{*}$ 时， $S_{n} + 2 = 2 a_{n}$ ；数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ .直线 $x - y +$ $1 = 0$ 经过点 $P (b_{n} ， b_{n + 1})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并求 $T_{n} < 2022$ 的最大整数n．

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间

(2)、若 $a = 1$ ， k为整数，且当 $x > 0$ 时 $(x - k) f^{^{'}} (x) + x + 1 > 0$ ，求k的最大值

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