吉林省长春市二道区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程 $2 - 2 x = x - 1$ 的解为（）

A、－1 B、1 C、3 D、－3

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2. 剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 不等式 $x + 3 > 0$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列正多边形中和正三角形组合，不能铺满地面的是（）

A、正方形 B、正八边形 C、正十二边形 D、正六边形

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5. 用一根长 $13 c m$ 的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位： $c m$ ）分别为整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a > b > c$ ，则 $a$ 最大可取（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 如图，将 $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 方向平移 $3 c m$ ，得到 $△ D E F$ ，点 $E$ 落在线段 $B C$ 上．若 $△ A B C$ 的周长为 $10 c m$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为（）

A、 $10 c m$ B、 $13 c m$ C、 $16 c m$ D、 $20 c m$

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7. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 $B$ 落在边 $E F$ 上，点 $D$ 落在边 $A C$ 上，则 $∠ α$ 的大小为（）

A、 $165 °$ B、 $160 °$ C、 $150 °$ D、 $135 °$

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8. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，根据题意可列方程为（）

A、 $5 x + 3 = 7 x + 45$ B、 $5 x + 3 = 7 x - 45$ C、 $5 x + 45 = 7 x + 3$ D、 $5 x - 45 = 7 x + 3$

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二、填空题

9. 关于x的方程 $5 x + 4 a = - 1$ 的解与方程 $3 x - 9 = 0$ 的解相同，则a的值是．

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10. 已知方程 $2 x - y = 2$ ，用含 $x$ 的式子表示 $y$ ，则 $y =$ ．

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 \geq 1 \\ 4 - 2 x < 0 \end{array}$ 的解集是．

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12. 如图是一个正多边形的玻璃碎片，这个正多边形的边数为．

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13. 如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，若 $∠ B + ∠ C = 110 °$ ，则 $∠ D A E =$ 度．

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14. 如图是一张三角形纸片 $A B C$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 50 °$ ， $D$ 是 $A B$ 边上的一点， $E$ 是 $B C$ 边上的一点，将 $△ B E D$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $F$ 处，若 $E F ∥ A B$ ，则 $∠ B D E =$ 度．

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三、解答题

15. 解方程： $3 (x - 2) = x - (8 - 3 x)$ ．

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16. 解一元一次不等式： $\frac{x - 5}{3} + 1 \leq \frac{3}{2} x$ ．

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17. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上一点， $E$ 是 $A C$ 边上一点， $B E$ 和 $C D$ 相交于点 $F$ ， $∠ A = 62 °$ ， $∠ A C D = 35 °$ ， $∠ A B E = 20 °$ ．

求：

(1)、 $∠ B D C$ 的度数；

(2)、 $∠ B F D$ 的度数，
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：∵ $∠ B D C = ∠ A + ∠ A C D$ （  ），

∴ $∠ B D C = 62 ° + 35 ° =$ （等量代换）．

∵ $∠ B F D + ∠ B D C +$   ▲   $= 180 °$ （  ），

∴ $∠ B F D = 180 ° - ∠ B D C -$   ▲  （等式的性质）

$= 180 ° - 97 ° -$ （等量代换）

＝  ▲   ．

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19. 下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： ${\begin{array}{l} 3 x - y = 4 ① \\ 6 x - 3 y = 10 ② \end{array}$

解：①×2，得 $6 x - 2 y = 8$ ……③  第一步

②－③，得 $- y = 2$   第二步

$y = - 2$ ．   第三步

将 $y = - 2$ 代入①，得 $x = 2$ ．第四步

所以，原方程组的解为 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 2 \end{cases}$ 第五步

(1)、这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．

(2)、请写出此题正确的解答过程．

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20. 如图， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等边三角形，点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上，连结 $B E$ ．试说明 $A D = B E$ ．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮助小亮把说理过程补充完整．
解：∵ $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等边三角形，
∴ $C A = C B$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B =$   ▲   $= 60 °$ （等边三角形的性质），
∴ $∠ A C D =$   ▲   ，
即 $△ A C D$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转  ▲  度，能够与  ▲  重合，
∴ $△ A C D ≌$ （旋转变换的性质），
∴ $A D = B E$ （  ）．

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21. 图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $O$ 均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图：

(1)、在图①中，画出图中 $△ A B C$ 向右平移3格后的 $△ D E F$ ；

(2)、在图②中，画出图中 $△ A B C$ 关于直线 $M N$ 对称的 $△ D E C$ ；

(3)、在图③中，画出图中 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后的 $△ D E F$ ．

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22. 【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $5 x - y = 6$ ……①， $4 x + 2 y = 7$ ……②，求 $x - 3 y$ 和 $13 x + 3 y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x$ 、 $y$ 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可 $x - 3 y = - 1$ ，由①＋②×2可得 $13 x + 3 y = 20$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 7 \\ x + 2 y = 8 \end{array}$ ，求 $x - y$ 和 $x + y$ 的值；

(2)、初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？

(3)、对于实数 $x$ 、 $y$ ，定义新运算： $x * y = a x + b y + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3 * 5 = 16$ ， $4 * 8 = 30$ ，求 $2 * 2$ 的值．

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23. 模型认识：我们学过三角形的内角和等于 $180 °$ ，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 $△ A B C$ 中， $B P$ 、 $C P$ 分别是 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的角平分线．

(1)、解决问题：
若 $∠ A B C = 40 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ，则 $∠ B P C =$ ；（直接写出答案）

(2)、若 $∠ B A C = 100 °$ ，求出 $∠ B P C$ 的度数；

(3)、拓展延伸：
如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $B P$ 、 $C P$ 分别是 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ 的角平分线，直接写出 $∠ B P C$ 与 $∠ A + ∠ D$ 的数量关系．

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24. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A B - B C$ 以每秒2个单位的速度向点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 以每秒1个单位的速度向点 $B$ 运动，当点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $P$ 在边 $B C$ 上运动时， $P B =$ （用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时，求 $t$ 的值；

(3)、当 $B Q = 2 P B$ 时，求 $t$ 的值；

(4)、若点 $P$ 关于点 $B$ 的中心对称点为点 $P^{'}$ ，直接写出 $△ P D P^{'}$ 和 $△ Q D C$ 面积相等时 $t$ 的值．

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