沪科版数学七年级下册分式章节之等式规律探索专题-在线组卷题库

1. 找规律：观察算式：

$1^{3} = 1$ ；

$1^{3} + 2^{3} = 9$ ；

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36$ ；

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 100$ ；

……

(1)、按规律填空：

① $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + ⋯ ⋯ + 1 0^{3} =$ ．

② $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + ⋯ ⋯ + n^{3} =$ ．

(2)、由上面的规律计算：

1 1^{3} + 1 2^{3} + 1 3^{3} + 1 4^{3} + ⋯ ⋯ + 2 0^{3}

．

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2. 观察下列各式：

$1^{3} + 2^{3} = 9 = \frac{1}{4} \times 4 \times 9 = \frac{1}{4} \times 2^{2} \times 3^{2}$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36 = \frac{1}{4} \times 9 \times 16 = \frac{1}{4} \times 3^{2} \times 4^{2}$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 100 = \frac{1}{4} \times 16 \times 25 = \frac{1}{4} \times 4^{2} \times 5^{2}$

……

(1)、计算：

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + ⋯ + 1 0^{3}

的值．

(2)、试猜想

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + ⋯ + n^{3}

的值．

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3. 阅读材料，并根据材料解答下列问题：

材料一： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ； \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ； \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ； \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；

材料二： $1 = \frac{1 \times 2}{2} ； 1 + 2 = \frac{2 \times 3}{2} ； 1 + 2 + 3 = \frac{3 \times 4}{2} ； 1 + 2 + 3 + 4 = \frac{4 \times 5}{2}$ ；

(1)、

\frac{1}{10 \times 11} =

；

1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 =

(请结合材料回答)；

(2)、结合材料一，化简：

\frac{1}{1 \times 2}

＋

\frac{1}{2 \times 3}

＋

\frac{1}{3 \times 4}

＋…＋

\frac{1}{10 \times 11}

；

(3)、结合材料二，化简：1＋

\frac{1}{1 + 2}

＋

\frac{1}{1 + 2 + 3}

＋…＋

\frac{1}{1 + 2 + 3 + ⋯ + 100}

．

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4. 观察下列算式：

$1 + \frac{1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{2^{2}}{1 \times 3}$ ；①

$1 + \frac{1}{8} = \frac{8 + 1}{8} = \frac{3^{2}}{2 \times 4}$ ；②

$1 + \frac{1}{15} = \frac{15 + 1}{15} = \frac{4^{2}}{3 \times 5}$ ；③

………按照上面的规律完成下列各题：

(1)、第④个算式：

1 + \frac{1}{24} = \frac{24 + 1}{24} =

；

(2)、第⑤个算式为；

(3)、第 n 个算式为；

(4)、计算：

(1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{8}) \times (1 + \frac{1}{15}) \times \dots \times (1 + \frac{1}{99})

.

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5. 观察下列等式：

第1个等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ；

第2个等式： $2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ；

第3个等式： $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$

第4个等式： $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} = 2^{6} - 2$ ，

……

请根据以上规律，解决下列问题

(1)、试写出第5个等式；

(2)、请证明第4个等式．

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6. 观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．

① $1 \times 2 = \frac{1}{3} (1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2)$

② $2 \times 3 = \frac{1}{3} (2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3)$

③ $3 \times 4 = \frac{1}{3} (3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4)$

(1)、

1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 =

；

(2)、

1 \times 2 + 2 \times 3 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) =

；

(3)、

1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) (n + 2) =

．

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7. 观察以下等式：

第1个等式： $\frac{2}{3} \times (1 + \frac{1}{2}) = 1$ ，

第2个等式： $\frac{3}{4} \times (1 + \frac{1}{3}) = 1$ ，

第3个等式： $\frac{4}{5} \times (1 + \frac{1}{4}) = 1$ ，

第4个等式： $\frac{5}{6} \times (1 + \frac{1}{5}) = 1$ ， ……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出你猜想的第

n

个

(n \geq 1)

等式（用含

n

的等式表示），并证明．

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8. 观察下列各式：

第1个等式： $\frac{1}{2} = \frac{1 + 3 \times 2}{2 + 3 \times 4}$ ；

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{2 + 3 \times 4}{3 + 3 \times 6}$ ；

第3个等式： $\frac{3}{4} = \frac{3 + 3 \times 6}{4 + 3 \times 8}$ ；

$⋯$

请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．

(1)、请你写出第4个等式：；

(2)、请你根据以上等式寻找规律，猜想第n个等式，并给出证明．

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9. 观察下列等式：

第1个等式： $a_{1} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} = \frac{3}{2}$ ；

第2个等式： $a_{2} = 1 + \frac{1}{2 \times 3} = \frac{7}{6}$ ；

第3个等式： $a_{3} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} = \frac{13}{12}$ ；

第4个等式： $a_{4} = 1 + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{21}{20}$ ；

……

根据以上规律解答以下问题：

(1)、写出第5个等式：；写出第n个等式：﹔

(2)、由分式性质可知：

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n (n + 1)}

，试求

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} - 2023

的值．

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10. 观察一下等式：

第一个等式： $\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$ ，

第二个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ，

第三个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} = 1 - \frac{1}{2^{3}}$ ， ……

按照以上规律，解决下列问题

(1)、

\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} = 1 -

；

(2)、写出第五个式子：；

(3)、用含的式子表示一般规律：

\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = 1 -

；

(4)、计算（要求写出过程）：

\frac{3}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} + \frac{3}{2^{4}} + \frac{3}{2^{5}} + \frac{3}{2^{6}}

.

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11. 观察下列等式的规律，解答下列问题：

第1个等式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 3 \times 2^{2} + 2$ ．

第2个等式： $2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 3 \times 3^{2} + 2$

第3个等式： $3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 3 \times 4^{2} + 2$ ．

第4个等式： $4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 3 \times 5^{2} + 2$ ．

……

(1)、请你写出第5个等式：．

(2)、写出你猜想的第

n

个等式（用含

n

的式子表示），并证明．

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12. 阅读两位同学的探究交流活动过程：

a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$ ①

b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：

$\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$ ②

$\frac{x + 4}{x + 5} - \frac{x + 3}{x + 4} = \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}$ ③

$\frac{x + 5}{x + 6} - \frac{x + 4}{x + 5} = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 6}$ ④

c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；

d．小亮对第n个等式进行了证明．

解答下列问题：

(1)、第⑤个等式是；

(2)、第n个等式是；

(3)、请你证明第n个等式成立．

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13. 将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：

\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$

$\frac{1}{x^{2} + 7 x + 12} = \frac{1}{(x + 3) (x + 4)} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$

$\dots$

(1)、；

\frac{1}{x^{2} + x}

=

\frac{1}{（ ）}

-

\frac{1}{（ ）}

(2)、计算：

\frac{1}{x^{2} + 4 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 8 x + 15} + \frac{1}{x^{2} + 12 x + 35}

．

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14. 观察下列各式：

$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；……

请利用你所得的结论，解答下列问题：

(1)、

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{1}{12 \times 13} =

．

(2)、计算：

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{1}{n \times (n + 1)} =

．

(3)、若

\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + ⋯ + \frac{1}{n \times (n + 3)} = \frac{6}{19}

，求n的值．

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一、综合题