【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第23-24题-在线组卷题库

1. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 $v (m / s)$ 从D点滑出，运动轨迹近似抛物线 $y = - a x^{2} + 2 x + 20 (a \neq 0)$ ．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

(1)、求线段CE的函数表达式（写出 $x$ 的取值范围）．

(2)、当 $a = \frac{1}{9}$ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

(3)、在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与 $v^{2}$ 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？

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2. 已知二次函数y＝x²﹣mx+2m﹣4
证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点

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3. 求抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ （a，c为常数， $a \neq 0$ ）经过点 $C (0 ， - 1)$ ，顶点为D．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当 $a > 0$ 时，点 $E (0 ， 1 + a)$ ，若 $D E = 2 \sqrt{2} D C$ ，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当 $a < - 1$ 时，点 $F (0 ， 1 - a)$ ，过点C作直线l平行于x轴， $M (m ， 0)$ 是x轴上的动点， $N (m + 3 ， - 1)$ 是直线l上的动点．当a为何值时， $F M + D N$ 的最小值为 $2 \sqrt{10}$ ，并求此时点M，N的坐标．

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5. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-1)²-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的CD的长．

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6. 已知抛物线y＝x²﹣bx+c（b ， c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m ， 0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点D（b ， y_D）在抛物线上，当AM＝AD ， m＝5时，求b的值；

（Ⅲ）点Q（b+ $\frac{1}{2}$ ，y_Q）在抛物线上，当 $\sqrt{2}$ AM+2QM的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，求b的值．

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $y = x + n$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $A M ⊥ B C$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

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8. 如图，B（2m ， 0）、C（3m ， 0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD ，使AB＝2BC ，画射线OA ，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax²+bx+n（a≠0）过E、A′两点．

(1)、填空：∠AOB＝°，用m表示点A′的坐标：A′；

(2)、当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P ，且 $\frac{B P}{A P} = \frac{1}{3}$ 时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；

(3)、若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M ，过M作MN垂直y轴，垂足为N：
①求a、

B、m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

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9. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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10. 如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且 $A E = C F$ ，连接BF.FD，DE，EB.

求证：四边形DEBF是菱形.

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11. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

(1)、求证：四边形ADBF是菱形；

(2)、若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．

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12. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE=BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．

求证：

(1)、△ADE≌△CDF．

(2)、ME=NF．

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13. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的中线，过点 $C$ 作 $C E // A B$ ，过点 $B$ 作 $B E // C D$ ， $C E$ 与 $B E$ 相交于点 $E$ .求证：四边形 $B E C D$ 为菱形.

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中，AB $∥$ DC， $A B = B C$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B C E$ 是菱形．

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16. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)、求证：△BEC∽△BCH；

(2)、如果BE²=AB•AE，求证：AG=DF.

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17. 如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作 $O H ⊥ B C$ 于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．

①求证：DC是⊙O的切线．

②若 $A C = 4 M C$ 且 $A C = 8$ ，求图中阴影部分的面积．

③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时， $P H + P M$ 的值最小，并求出最小值．

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18. 如图，以 $B C$ 为边分别作菱形 $B C D E$ 和菱形 $B C F G$ （点 $C$ ， $D$ ， $F$ 共线），动点 $A$ 在以 $B C$ 为直径且处于菱形 $B C F G$ 内的圆弧上，连接 $E F$ 交 $B C$ 于点 $O$ .设 $∠ G = θ$ .

(1)、求证：无论 $θ$ 为何值， $E F$ 与 $B C$ 相互平分；并请直接写出使 $E F ⊥ B C$ 成立的 $θ$ 值.

(2)、当 $θ = 90 °$ 时，试给出 $t a n ∠ A B C$ 的值，使得 $E F$ 垂直平分 $A C$ ，请说明理由.

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19. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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20. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ， $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求证四边形 $D G F C$ 为菱形；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $C G$ ， $D G$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ D M N = ∠ D C M$ ，设 $D N = x$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使 $△ D M N$ 是直角三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第23-24题

一、原题23

二、变式题1基础

三、变式题2巩固

四、变式题3提升

五、原题24

六、变式题4基础

七、变式题5巩固

八、变式题6提升