人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——16.3二次根式的加减

试卷更新日期：2023-05-11 类型：复习试卷

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一、二次根式的加减运算

1. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt{\frac{1}{8}}$

(2)、 $\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{6}}{\sqrt{18}} - \frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

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2. 计算： $\sqrt{12} + 4 \sqrt{0.5} - \frac{2}{3} \sqrt{18} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

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3. 计算： $\sqrt{48} - \sqrt{0.75} =$ ．

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4. 计算： ${(- \sqrt{6})}^{2} - \sqrt{25} + \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ．

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5. 计算： $\frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{12} - \sqrt{27}$ ．

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二、二次根式的混合运算

6. 计算： $\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{12}) + (\sqrt{3} + 1)^{2} + \frac{12}{\sqrt{6}}$

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7. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ ；

(2)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6})$ ；

(3)、 $(4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}) \div 2 \sqrt{2}$ ；

(4)、 $(2 \sqrt{5} - \sqrt{2}) {}^{2}$ .

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8. 计算：

(1)、( $\sqrt{5}$ )²＋ $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ － $\sqrt{18}$ × $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)、( $\sqrt{5}$ － $\sqrt{2}$ )²＋(2＋ $\sqrt{3}$ )(2－ $\sqrt{3}$ )

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9. 计算

(1)、 $(\sqrt{18} - \sqrt{24}) \div \sqrt{6}$

(2)、 $\sqrt{48} - (\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{1 \frac{1}{3}})$

(3)、 $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{15}) \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$

(4)、 $(3 + 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) - \sqrt{54} \div \sqrt{6}$

(5)、 $(\sqrt{6} - \sqrt{2})^{2}$

(6)、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$

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10. 计算： $\sqrt{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{6} \sqrt{24} - \frac{3}{2} \sqrt{12}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ ．

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三、化简求值

11. 先化简，再求值： $6 x \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{3}{y} \sqrt{x y^{3}} - (4 y \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{36 x y})$ ，其中 $x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ．

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12. 先化简，再求值： $a \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{2}{b} \sqrt{a b^{3}} + 3 \sqrt{a b}$ ，其中b= $\sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} + 3$ ．

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13. 先化简再求值： $(\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + y^{2} \sqrt{\frac{x}{y^{3}}}) - (x^{2} \sqrt{\frac{1}{x}} - 4 x \sqrt{\frac{y}{x}})$ ，其中 $| x - 3 | + \sqrt{y - 4} = 0$ ．

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14. 已知 xy=6，x+y=﹣4，求x $\sqrt{\frac{x}{y}}$ +y $\sqrt{\frac{y}{x}}$ 的值．

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15. 先化简，再求值： $(6 x \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{3}{y} \sqrt{x y^{3}})$ － $(4 y \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{36 x y})$ ，其中x＝ $\sqrt{2}$ ＋1，y＝ $\sqrt{2}$ －1.

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四、二次根式与完全平方公式

16. 已知： $a = \sqrt{7} + 2$ ， $b = \sqrt{7} - 2$ ，求：

(1)、 $a b$ 的值；

(2)、 $a^{2} + b^{2} - 3 a b$ 的值；

(3)、若 $m$ 为 $a$ 整数部分， $n$ 为 $b$ 小数部分，求 $\frac{1}{m + n}$ 的值.

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17. 已知a=2+ $\sqrt{5}$ ， b=2- $\sqrt{5}$ ，求a²+b²+ab的值．

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18. 已知 $a = 3 + 2 \sqrt{2}$ ， $b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，分别求下列代数式的值：

(1)、a²-b²；

(2)、a²-2ab+b² ．

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19. 已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ .求：

(1)、 $x + y$ 和 $x y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值.

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20. 若 $x + \frac{1}{x} = 7$ ，则 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值是（）

A、3 B、±3 C、 $\sqrt{5}$ D、± $\sqrt{5}$

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五、分母有理化

21. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ .
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ .
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ $=$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{4} - 4 a^{3} - 4 a + 3$ 的值.

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22. 阅读材料：像 $(\sqrt{5} + 2) \times (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ ， ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \times (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$

所以 $a - 1 = \sqrt{2}$

所以 ${(a - 1)}^{2} = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a + 1 = 2$

所以 $a^{2} - 2 a = 1$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a = 3$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

(1)、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ；
$\sqrt{3} - 2$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2} =$ ；

(2)、若 $a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $- 2 a^{2} + 12 a + 3$ 的值．

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23. 在进行二次根式的运算时，如遇到 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，还需做进一步的化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \times (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3}$ ﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．

(1)、请参照以上方法化简 $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算 $\frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2019}} + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2017}} + \frac{1}{\sqrt{2017} + \sqrt{2015}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ ．

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24. 已知x＝ $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，y＝ $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求：
①x²y﹣xy²的值；

②x²﹣xy+y²的值．

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25. 先观察下列的计算，再完成习题：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{（ \sqrt{3} + \sqrt{2} ）（ \sqrt{3} - \sqrt{2} ）} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{4} - \sqrt{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$
请你直接写出下面的结果：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}}$ =； $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ =；

(2)、根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
$（ \frac{1}{1+ \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2013} + \sqrt{2014}} ） \times （ \sqrt{2014} +1 ）$ ．

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六、综合训练

26. 已知x= $\sqrt{2022} + \sqrt{2023}$ ，则x²-2 $\sqrt{2023}$ x +2022的值为（）

A、1 B、2021 C、2022 D、2023

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27. 对于任意两个不相等的实数 $a 、 b$ ，定义一种新运算“ $\oplus$ ”如下： $a \oplus b = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a - b}}$ ，如： $3 \oplus 2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{\sqrt{3 - 2}} = \sqrt{5}$ .那么 $12 \oplus 4 =$ .

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28. 已知 $| x - 3 | + \sqrt{x - y + 1} = 0$ ，求 $\sqrt{x^{2} y + x y^{2} + \frac{1}{4} y^{3}}$ 的值．

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29. 已知a＝， b＝．

(1)、求ab，a＋b的值．

(2)、求＋的值．

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30. 已知 $\sqrt{50} - \sqrt{2} = a \sqrt{2} - \sqrt{2} = b \sqrt{2}$ ，则 $a =$ ， $b =$ ．

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31.

(1)、计算： $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{9}{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{3}} + {(\sqrt{3} - 2)}^{0}$ ；

(2)、已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ，求代数式 $(7 + 4 \sqrt{3}) x^{2} + (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3}$ 的值；

(3)、先化简，再求值： $(3 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{3 x^{2} + x}{x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．

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32. 若 $\sqrt{18 x}$ ＋2 $\sqrt{\frac{x}{2}}$ ＋ $\sqrt{2 x}$ ＝10，则x的值为（）

A、4 B、±4 C、2 D、±2

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33. 计算：

(1)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ；

(2)、 $5 x \sqrt{\frac{x}{5}} - x^{2} \sqrt{\frac{5}{x}} + \frac{1}{2} \sqrt{4 x}$ ．

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34. 阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m、n ，是m²+n²＝x且mn＝ $\sqrt{y}$ ，则把x±2 $\sqrt{y}$ 变成m²+n²±2mn＝(m±n)²开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简．
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解：∵3+2 $\sqrt{2}$ ＝1+2+2 $\sqrt{2}$ ＝1²+( $\sqrt{2}$ )²+2×1× $\sqrt{2}$ ＝(1+ $\sqrt{2}$ )²

∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ .

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35. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
$3 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ．请你仿照小明的方法解决下列问题：

(1)、 $7 - 4 \sqrt{3} = {(a - b \sqrt{3})}^{2}$ ，则 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、已知 $x$ 是 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 的算术平方根，求 $4 x^{2} + 4 x - 2020$ 的值；

(3)、当 $1 \leq x \leq 2$ 时，化简 $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} =$ ．

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36. 计算：

(1)、计算： ${(2014 - \sqrt{3})}^{0} + | 3 - \sqrt{12} | - \frac{6}{\sqrt{3}}$

(2)、先化简，再求值： $(6 x \sqrt{\frac{y}{x}} + 3 \sqrt{x y}) - (4 x \sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{36 x y})$ ，其中 $x = \frac{3}{2} ， y = 27$ .

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37.

(1)、计算： $\sqrt{18} - \sqrt{8} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

(2)、先化简，再求值：已知 $a = 8 ， b = 2$ ，试求 $a \sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{4 b} - \sqrt{\frac{a}{4}} + \sqrt{b}$ 的值.

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38. 先化简，再求值： $\sqrt{25 x y} + x \sqrt{\frac{y}{x}} - 4 y \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{1}{y} \sqrt{x y^{3}}$ ，其中 $x = \frac{1}{5}$ ， $y = 4$

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39. 若 x、y 是实数，且 y= $\sqrt{x - 8} + \sqrt{8 - x} + \frac{1}{27}$ ，求 $(x \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{4 y}) - (\sqrt{\frac{x}{4}} - y \sqrt{\frac{1}{y}})$ .

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40. 若m＝ $\frac{2015}{\sqrt{2016} - 1}$ ，则m³﹣m²﹣2017m+2015＝．

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41. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）² ．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b $\sqrt{2}$ ＝（m+n $\sqrt{2}$ ）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b $\sqrt{2}$ ＝m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ．

∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\sqrt{5}$ ＝（m+n $\sqrt{5}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝；

(2)、利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空：+ $\sqrt{7}$ ＝（+ $\sqrt{7}$ ）²；

(3)、若a+6 $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值？

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42. 你见过像 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\sqrt{48} - \sqrt{45}}$ …这样的根式吗?这一类根式叫做复合二次根式。有一些复合二次根式可以化简，如：
$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ = $\sqrt{3 - 2 \sqrt{3} + 1}$ = $\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - 2 \sqrt{3} + 1^{2}}$ = $\sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}}$ = $\sqrt{3}$ -1，
请用上述方法化简： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$

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