人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——16.2二次根式的乘除

试卷更新日期：2023-05-11 类型：复习试卷

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一、二次根式的乘除运算

1. 计算 $\sqrt{\frac{b}{a}} \div \sqrt{a b} \times \sqrt{\frac{1}{a b}} (a > 0 ， b > 0)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{a^{2} b} \sqrt{a b}$ B、 $\frac{1}{a b^{2}} \sqrt{a b}$ C、 $\frac{1}{b} \sqrt{a b}$ D、 $b \sqrt{a b}$

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2. 计算： $\sqrt{2 \frac{2}{3}}$ ÷ $\sqrt{1 \frac{1}{3}}$ ．

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3. 若 $m n > 0 ， m + n < 0$ ，则化简 $\sqrt{m n} ÷ \sqrt{\frac{n}{m}} =$ （）

A、m B、-m C、n D、-n

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4. 已知 $a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ， $b = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $7 a^{2} + 11 a b + 7 b^{2}$ 的值．

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5. 计算 $\sqrt{6 a} \cdot \sqrt{2 a}$ 的结果是（）

A、 $2 \sqrt{3} a$ B、 $3 \sqrt{2} a$ C、 $\sqrt{3 a}$ D、 $3 \sqrt{3 a}$

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二、最简二次根式的判断

6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.5}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{9}$

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7. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{13}$

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8. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{16}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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9. 下列根式为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ D、 $\sqrt{12}$

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10. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $\sqrt{24}$

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三、化为最简二次根式

11. 化简： $\sqrt{4} =$ ； $\sqrt{\frac{2}{9}} =$ ； ${(2 \sqrt{3})}^{2} =$ .

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12. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{b^{3}}{a}} (a < 0)$ 得（）

A、 $\frac{b \sqrt{a b}}{a}$ B、 $- \frac{b \sqrt{a b}}{a}$ C、 $\frac{b \sqrt{- a b}}{a}$ D、 $- \frac{b \sqrt{- a b}}{a}$

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13. 计算：

(1)、 $\sqrt{24} =$

(2)、 $\sqrt{\frac{1}{50}} =$

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14. 直接写出下列二次根式化简后的结果：
$\sqrt{200}$ = ， $\sqrt{1 \frac{3}{4}}$ =

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ = ， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$ =

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15. 计算：

(1)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ = ， $\sqrt{125} \times \sqrt{0.2}$ = ， $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ =

(2)、 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ = ， $\sqrt{25} \div (2 \sqrt{5})$ = ， $\frac{\sqrt{2.7 \times 10^{4}}}{\sqrt{.3 \times 10^{2}}}$ =

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四、已知最简二次根式求参数

16. 若最简二次根式与最简二次根式 $\sqrt{4 n - m}$ 相等，则m+n= ．

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17. 若 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $5 \sqrt{a + 1}$ 能合并，则 $a =$ ，两式的和为

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18. 最简二次根式 $\sqrt{4 - 3 x}$ 与二次根式 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式，则x＝．

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19. 已知二次根式 $\sqrt{a + 6}$ ，

(1)、如果该二次根式 $\sqrt{a + 6}$ =5，求a的值；

(2)、已知 $\sqrt{a + 6}$ 为最简二次根式，且与 $\sqrt{\frac{5}{8}}$ 能够合并．
①求a的值；

②求 $\sqrt{a + 6}$ · $\sqrt{\frac{5}{8}}$ ．

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20. 已知 $\sqrt{2 n}$ 是整数，则n的值不可能是（）

A、2 B、8 C、32 D、40

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五、综合训练

21. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ .
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ .
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ $=$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{4} - 4 a^{3} - 4 a + 3$ 的值.

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22. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他们是这样解答的：
∵ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ 即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

(1)、 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} =$ ．

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ；

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23. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{4} - \sqrt[]{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ；……

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ．
观察上面的解题过程，请直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ．

(2)、利用这一规律计算：
$(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})} + \frac{1}{(\sqrt{4} + \sqrt{3})} + ⋯ + \frac{1}{(\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}) \cdot (\sqrt{2021} + 1)$ 的值．

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24. 满足不等式 $\frac{4}{\sqrt{2} + 1} < m < \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ 的整数 $m$ 的个数是.

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25. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）².设a+b $\sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b $\sqrt{2}$ ＝m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn.这样可以把部分a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝.

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ $\sqrt{5}$ ＝（+ $\sqrt{5}$ ）²；

(3)、化简 $\frac{1}{\sqrt{16 - 6 \sqrt{7}}} - \frac{1}{\sqrt{11 + 4 \sqrt{7}}}$

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26. 计算：

(1)、 $\sqrt{0.25 \times 0.36}$

(2)、 $\sqrt{\frac{16 \times 25}{64}}$

(3)、 $\sqrt{- 4 \times \frac{25}{9} \times (- 169)}$

(4)、 $\sqrt{(1.6 \times 10^{3}) \times (2.5 \times 10^{5})}$

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27. 若最简二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x}$ 是同类二次根式，则x的值为（）

A、x＝0 B、x＝1 C、x＝2 D、x＝3

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28. 计算： $\sqrt{\frac{b}{a}} \times \sqrt{\frac{a^{3}}{b}} \div \sqrt{a b}$

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29. 若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 2 y - 5$ ，则 $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} - y}$ 的值是

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30. 阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} =$ $\sqrt{3} - 1$ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求 $a^{2} + b^{2}$ ．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = x^{2} - 2 y = 4 + 6 = 10$ ．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} +$ $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} +$ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} +$ $. . . + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2017}}$ ；

(2)、m 是正整数， a = $\frac{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}$ ， b = $\frac{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}$ 且 $2 a^{2} + 1823 a b + 2 b^{2} = 2019$ ．求 m．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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