人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——16.1二次根式

试卷更新日期：2023-05-11 类型：复习试卷

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一、求二次根式的值

1. 当 $x = - 1$ 时，代数式 $\sqrt{9 - 7 x}$ 的值为.

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2. 当1＜a＜2时，代数式 $\sqrt{(a - 2)^{2}}$ ＋|1－a|的值是（）

A、－1 B、1 C、2a－3 D、3－2a

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3. 当a=5时，二次根式 $\sqrt{4 + a}$ 的值是（）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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4. 当 $x = 1$ 时，二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 的值为．

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5. 当x=-2时，二次根式 $\sqrt{2 - 7 x}$ 的值是

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二、求二次根式中的参数

6. 已知n是正整数， $\sqrt{18 n}$ 是整数，则n的最小值为.

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7. 已知n是一个正整数， $\sqrt{12 n}$ 是整数，则n的最小值是.

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8. 若 $\sqrt{125 n}$ 是整数，则正整数n的最小值是．

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9. 若 $\sqrt{12 - n}$ 是整数，则满足条件的自然数n共有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 若 $\sqrt{1 - n}$ 是二次根式，则n的值可以是（）

A、 $- 1$ B、2 C、3 D、5

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三、求二次根式中有意义的条件

11. 下列x的值使二次根式 $\sqrt{2 - x}$ 无意义的是．（）

A、x=-5 B、x=0 C、x= 2 D、x=3

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12. 代数式 $\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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13. 要使代数式 $\frac{x}{\sqrt{x + 1}}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x \neq 0$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$

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14. 若 $\sqrt{\frac{x + 3}{5 - x}} = \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{5 - x}}$ ，则x的取值范围是．

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15. 若代数式 $\frac{\sqrt{x + 1}}{(x - 3)^{2}}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \geq - 1$ 且 $x \neq 3$ C、 $x > - 1$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 3$

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四、利用二次根式化简

16. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简： $| a - 2 |$ + $\sqrt{{(a - 4)}^{2}}$ 的结果为（）

A、2 B、-2 C、2a-6 D、-2a+6

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17. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 $| a - b | - \sqrt{a^{2}}$ 的结果是（　　）

A、 $2 a - b$ B、b C、 $- b$ D、 $- 2 a + b$

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18. 化简：

(1)、 $\sqrt{0 . 3^{2}}$ ；

(2)、 ${(5 \sqrt{5})}^{2}$ ；

(3)、 $\sqrt{{(- \frac{1}{7})}^{2}}$ ；

(4)、 ${(- \sqrt{\frac{2}{3}})}^{2}$

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19. 若有理数 $a$ 和 $b$ 在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 $\sqrt{b^{2}} - | a - b |$ 等于（）

A、 $- a$ B、 $a$ C、 $2 b + a$ D、 $2 b - a$

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20. 化简 $| a - 3 | + {(\sqrt{3 - a})}^{2}$ 的结果是（）

A、0 B、6 C、2a-6 D、6-2a

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五、复合二次根式化简

21. 已知 $- 1 < a < 0$ ，化简 $\sqrt{(a + \frac{1}{a})^{2} - 4} - \sqrt{(a - \frac{1}{a})^{2} + 4}$ 的结果为（）

A、 $2 a$ B、 $- 2 a$ C、 $- \frac{2}{a}$ D、 $\frac{2}{a}$

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22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ （其中 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数），则有 $a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、若 $a + b \sqrt{7} = {(m + n \sqrt{7})}^{2}$ ，当 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数时，用含 $m$ 、 $n$ 的式子分别表示 $a$ 、 $b$ ，得： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若 $a + 6 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，且 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 均为正整数，求 $a$ 的值；

(3)、化简下列各式：
① $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$

② $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$

③ $\sqrt{4 - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}$ .

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23. 先阅读下面例题的解答过程，然后作答（）
例题：化简 $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}}$ 。
解：先观察 $8 + 2 \sqrt{15}$ ，
由于 $8 = 5 + 3$ ，即 $8 = {(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}$ ，
且 $15 = 5 \times 3$ ，即 $2 \sqrt{15} = 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3}$ ，
则有 $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} = \sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，试用上述例题的方法化简： $\sqrt{15 + 4 \sqrt{14}}$

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{13}$ B、 $2 + \sqrt{11}$ C、 $1 + \sqrt{14}$ D、 $\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$

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24. 阅读理解题，下面我们观察：
$(\sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$ .反之 $3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2} ，$ 所以 $3 - 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2} ，$ 所以 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ .

完成下列各题：

(1)、把 $3 + 2 \sqrt{2}$ 写成 ${(a + b)}^{2}$ 的形式；

(2)、化简： $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ ；

(3)、化简： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ .

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25. 材料一：定义： $\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{x y}$ （x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答： $(\sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$ ；反之3﹣2 $\sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ ．
∴3﹣2 $\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ ；
∴ $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} -$ 1．

(1)、仿照材料二，化简： $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ ；

(2)、结合两个材料，若 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ （a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；

(3)、由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m²＋n²的值．

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六、综合训练

26. 已知 $\sqrt{m - 2}$ （m-3）≤0.若整数a满足m+a＝5 $\sqrt{2}$ ，则a＝.

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27. 若 $x = a$ ，代数式 $x^{2} + 2 x + \sqrt{n - 2}$ 的值为 $- 1$ ，则当 $x = - a$ 时，代数式 $x^{2} + 2 x + \sqrt{n - 2}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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28. 已知 $x + \sqrt{{(x - 2023)}^{2}} = 2023$ ，则x的取值范围是．

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29. 已知 $| 2022 - a | + \sqrt{a - 2023} = a$ ，则 $a - 2022^{2} =$ .

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30. 若 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3$ ，则 $x + y$ 的立方根是.

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31. 使代数式 $\frac{1}{\sqrt{x + 2}} - \sqrt{3 - 2 x}$ 有意义的整数x有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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32. 函数y＝ $\frac{1}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{4 - x}$ 中自变量的取值范围是.

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33. 要使式子有 $\frac{\sqrt{a + 3}}{a^{2} - 1}$ 意义，则a的取值范围是．

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34. 要使分式 $\frac{\sqrt{x}}{| x | - 5}$ 有意义，则 $x$ 应满足的条件是.

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35. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的位置如图所示.

(1)、若 $| a | = | b |$ ，则 $a + b =$ ， $\frac{a}{b} =$ .

(2)、化简： $\sqrt{c^{2}} + \sqrt[3]{(a + b)^{3}} - | c - b |$ .

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36. 已知实数a满足 $| 2000 - a | + \sqrt{a - 2001} = a$ ，那么 $a - 2000^{2}$ 的值是（）

A、1999 B、2000 C、2001 D、2002

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37. 已知 $a = \sqrt{2023 \times 2021}$ ， $b = \sqrt{202 0^{2} + 4 \times 2021}$ ， $c = 2021 \times 2020 - 2019 \times 2021$ ，则 $(a - b) (b - c)$ 的值（）

A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、无法确定

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38. 对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下： $a * b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b} (a + b > 0)$ ，如 $3 * 2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$ ，则 $8 * (6 * 3) =$ ．

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39. 求： $| \sqrt{- {(x - 4)}^{2}} - 1 | - 2$ 的值

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40. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 9}$ 的自变量x的取值范围是（）

A、x≠±3 B、x≤﹣2 C、x≠3 D、x≥﹣2且x≠3

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41. 材料：如何将双重二次根式 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} (a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \pm 2 \sqrt{b} > 0)$ 化简呢？如能找到两个数 $m$ ， $n (m > 0 ， n > 0)$ ，使得 $(\sqrt{m})^{2} + (\sqrt{n})^{2} = a$ ，即 $m + n = a$ ，且使 $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{b}$ ，即 $m \cdot n = b$ ，那么 $a \pm 2 \sqrt{b} = (\sqrt{m})^{2} + (\sqrt{n})^{2} \pm 2 \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = (\sqrt{m} \pm \sqrt{n})^{2}$ $∴$ $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} = | \sqrt{m} \pm \sqrt{n} |$ ，双重二次根式得以化简.
例如化简： $\sqrt{3 \pm 2 \sqrt{2}}$ ，
因为 $3 = 1 + 2$ 且 $2 = 1 \times 2$ ，
$∴ 3 \pm 2 \sqrt{2} = (\sqrt{1})^{2} + (\sqrt{2})^{2} \pm 2 \sqrt{1} \times \sqrt{2} ∴ \sqrt{3 \pm 2 \sqrt{2}} = | 1 \pm \sqrt{2} |$ ，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 的形式，且能找到 $m$ ， $n (m > 0 ， n > 0)$ 使得 $m + n = a$ ，且 $m \cdot n = b$ ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)、填空： $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ = ， $\sqrt{12 \pm 2 \sqrt{35}}$ =；

(2)、化简： $\sqrt{9 \pm 6 \sqrt{2}}$ ；

(3)、计算： $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ + $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$ .

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