四川省资阳市2023届高考理科适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 - x < 1}$ ， $B = {x | | x - 1 | < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | x < 4}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 ${x | x > - 2}$

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2. 已知复数 $z = a + b i （ a ， b \in R ）$ ，且 $\frac{z i}{1 + i} = 1 + 2 i$ ，则ab=（）

A、-9 B、9 C、-3 D、3

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3. 若 $a = l o g_{0.3} 0.4$ ， $b = 1 . 2^{0.3}$ ， $c = l o g_{2.1} 0.9$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} + a_{8} = a_{5} + 4$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、26 B、32 C、52 D、64

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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = 81$ ，则判断框内可填入的条件是（）

A、 $n \leq 9 ?$ B、 $n \geq 9 ?$ C、 $n < 9 ?$ D、 $n > 9 ?$

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (5 + x)$ ，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{3}{4}$ ，则 $f (l o g_{2} 36) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{39}{8}$ D、 $\frac{39}{4}$

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8. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，中， $A A_{1} = A B = 2$ ， $D$ 在 $A_{1} C$ 上， $E$ 是 $A_{1} B$ 的中点，则 ${(A D + D E)}^{2}$ 的最小值是（）

A、 $6 - \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 + \sqrt{7}$ D、 $5 + \sqrt{7}$

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9. 某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）

A、360种 B、420种 C、480种 D、540种

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，点M在双曲线C的右支上， $A (0 ， b)$ ，若 $△ A M F$ 周长的最小值是 $2 c + 4 a$ ，则双曲线C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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11. 已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为 $\sqrt{6}$ ，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $3 π$ C、 $6 π$ D、 $12 π$

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12. 已知函数 $f (x) {\begin{array}{l} 2 x - 3 ， x > 0 ， \\ x^{3} - 3 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - m$ 恰有5个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， 3)$

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二、填空题

13. 幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l ： y = x + m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A F | + | B F | = 18$ ，则 $m =$ .

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的“均值数列”．已知数列 ${b_{n}}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的“均值数列”，且 $b_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ ，则 $a_{n}$ 的最小值是

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16. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值是 $\frac{π}{2}$ ．若关于x的方程 $f (x) = 1$ 在 $[m ， n] (m < n)$ 上有2023个零点，则 $n - m$ 的最小值是

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b s i n B - c s i n C = a$ ．

(1)、证明： $B - C = \frac{π}{2}$

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积．

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18. 某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每位专家的评审结果相互独立．

(1)、求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(2)、记X表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

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19. 如图，在三棱柱 $B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为2，且 $B_{1} C = \sqrt{6}$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $\vec{B B_{1}} = 3 \vec{B D}$ ．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(2)、求平面ACD与平面 $A_{1} B_{1} C$ 夹角的余弦值．

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20. 椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，点 $(1 ， \sqrt{6})$ 在椭圆E上．

(1)、求椭圆E的方程．

(2)、过点 $(- 1 ， 0)$ 的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x^{3} - n x^{2} - x$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求实数m，n的值；

(2)、证明：对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq 3 x^{3} - 5 x^{2} + 1$ 恒成立．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 c o s α \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ c o s θ + 2 ρ s i n θ - 12 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $l_{1} ： θ = \frac{π}{4} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ ，与直线 $l$ 交于点 $B$ ，求 $| A B |$ 的值．

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ．

(1)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} \leq 2 \sqrt{2}$ ．

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