四川省宜宾市2023届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2023-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $P = {x | 0 < l o g_{2} x < 1}$ ， $Q = {x | x \leq 2}$ ，则（）

A、 $P ∩ Q = \emptyset$ B、 $P \cup Q = R$ C、 $P \subseteq Q$ D、 $Q \subseteq P$

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2. 已知复数 $z = 3 + 4 i$ ，且 $z + a \bar{z} + b i = 9$ ，其中a，b是实数，则（）

A、 $a = - 2$ ， $b = 3$ B、 $a = 2$ ， $b = 4$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ D、 $a = 2$ ， $b = - 4$

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3. 已知数列 ${\frac{1}{2 n - 11}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n}$ 最小时的n是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 已知p： $1 < m < 3$ ， q： $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示椭圆，则p是q的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知两个平面 $α$ ， $β$ ，两条直线l，m，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊂ α$ ，则 $l ⊥ β$ B、若 $l ⊂ α$ ， $m \subset β$ ， $m ⊥ l$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊂ α$ ， $m \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $l ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若l，m是异面直线， $l ⊂ α$ ， $l ∥ β$ ， $m \subset β$ ， $m ∥ α$ ，则 $α ∥ β$

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6. 在黑板上从左到右写2，0，2，3四个数，对两个相邻的数，每次用右边的数减左边的数的差填在这两数中间，从3开始到最左边的2为止，称为填一次.比如填第一次：2，-2 ， 0，2 ， 2，1 ， 3，其中划线部分是填的右边的数减左边的数的差.则这样填2023次之后，黑板上所有数的和是（）

A、2023 B、2025 C、2028 D、2030

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a l n x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a < - 2$ C、 $a \geq 0$ D、 $a < 0$

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8. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件乙表示“第二枚骰子向上的点数为偶数”，事件丙表示“两枚骰子向上的点数之和为 $6$ ”，事件丁表示“两枚骰子向上的点数之和为 $7$ ”，则（）

A、事件甲与事件乙互斥 B、 $P (丙 | 乙) = \frac{5}{72}$ C、事件甲与事件丁相互独立 D、事件丙与事件丁互为对立事件

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9. 已知点 $M$ 是圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的一个动点，点 $N$ 是直线 $y = x$ 上除原点 $O$ 外的任意一点，则向量 $\vec{O M}$ 在向量 $\vec{O N}$ 上的投影的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2} + 2$ D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - m)}^{2} - 2 ， x < 0 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ 的最小值是 $- 1$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \geq 3$ D、 $m > 0$

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11. 如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中 $\frac{D H}{D A} = \frac{1}{2}$ ，则在图1中 $\frac{E F}{E G} =$ （）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{48}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若 $\frac{a}{c} = \frac{c o s A}{2 - c o s C}$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩 $ξ$ 近似服从正态分布 $N (110 ， σ^{2})$ ，若 $P (110 \leq ξ \leq 130) = 0.35$ ，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为.

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14. 音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f， $\frac{9}{8} f$ ， $\frac{81}{64} f$ ， $\frac{4}{3} f$ ， $\frac{3}{2} f$ ， $\frac{27}{16} f$ ， $\frac{243}{128} f$ ，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 $α$ ， $β (α > β)$ ， $α$ 称为全音， $β$ 称为半音，则 $l g α^{5} + l g β^{2} - l g 2 =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = 2 x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值是.

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 作渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 $| A F_{2} | = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ ，则 $△ A B F_{1}$ 的周长为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别记为 $a$ ， $b$ ， $c$ .条件①： $\frac{s i n A}{1 - c o s A} = \frac{s i n 2 B}{1 + c o s 2 B}$ ；条件②： $s i n C s i n (B - A) = s i n B s i n (C - A)$ .从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)、证明： $B = C$ ；

(2)、求 $\frac{2 a + b}{c} + \frac{1}{c o s B}$ 的最小值.

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18. 近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
研发投入 $x_{i}$
2
2
4
6
8
10
14
16
18
20
营业收入 $y_{i}$
14
16
30
38
50
60
70
90
102
130
并计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 100$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 600$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 1400$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 49200$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 8264$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{33} \approx 5.745$ ．

(1)、求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若 $0.30 \leq | r | < 0.75$ ，则线性相关程度一般，若 $| r | \geq 0.75$ ，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；

(2)、现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．

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19. 如图（1），在正三角形 $A B C$ 中， $D ， E$ 分别为 $A B ， A C$ 中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使二面角 $A - D E - B$ 为直二面角，如图（2），连接 $A B ， A C$ ，过点E作平面 $E F G$ 与平面 $A B D$ 平行，分别交 $B C ， A C$ 于 $F ， G$ .

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点H在线段 $A D$ 上运动，当 $F H$ 与平面 $E F G$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ 时，求 $\frac{A H}{A D}$ 的值.

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20. 已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ，直线AB，AC的斜率之积是3.

(1)、求点A的轨迹D的方程；

(2)、若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作 $B H ⊥ E F$ 于H，是否存在定点G使 $| H G |$ 为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = m x e^{- x} + x - l n x (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $m > 0$ ， $f (x)$ 的最小值是 $1 + l n m$ ，求实数m的所有可能值.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线E的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} + c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线 $l_{1}$ ： $θ = β (- \frac{π}{4} < β < 0)$ 与E交于A，B两点，射线 $l_{2}$ ： $θ = β + \frac{π}{4}$ 与E交于C，D两点．

(1)、求曲线E的极坐标方程；

(2)、求 $\frac{| O C | + | O D |}{| O A | + | O B |}$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} + 2 a x + a^{2}} - 2 | x - b | (a > 0 ， b > 0)$ 的最大值为2．

(1)、求 $a + b$ 的值；

(2)、证明： $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{(3 a + 1) b} \geq 12$ ．

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样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
研发投入 $x_{i}$	2	2	4	6	8	10	14	16	18	20
营业收入 $y_{i}$	14	16	30	38	50	60	70	90	102	130