四川省遂宁市2023届高三理数三诊考试试卷

试卷更新日期：2023-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | | x - 1 | \geq 2}$ ， $N ＝ {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${2 ， 3}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 + 3 i) = 3 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z |$ =（）

A、0 B、-1 C、 $\sqrt{13}$ D、1

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3. 下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 $r = 0.88$ ，则下列结论正确的是（）

A、月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月 B、每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关 C、每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加 D、9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小

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4. 下列说法不正确的是（）

A、若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ B、命题 $p ：$ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ ，则 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < 0$ C、回归直线方程为 $y = 1.23 x + 0.08$ ，则样本点的中心可以为 $(4 ， 5)$ D、在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 则“ $A > B$ ”是“ $a + s i n A > b + s i n B$ ”的充要条件

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 \leq 0 ， \\ x - 2 y - 2 \geq 0 ， \\ x \geq 0 ， \end{array}$ 则 $y - 3 x$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{8}{3}$ B、-2 C、-1 D、1

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{3} ， a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、-18或18 B、-18 C、18 D、2

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7. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{3^{x} + 1}) \cdot c o s x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = a_{n + 1} a_{n}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、210 B、110 C、50 D、55

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9. 已知 $(1 - x) (2 x + 1)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{4} - a_{0} =$ （）

A、30 B、-30 C、17 D、-17

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ （ $E$ 在 $F$ 的左边），且 $E F = \sqrt{2}$ ．下列说法不正确的是（）

A、当 $E$ 运动时，二面角 $E - A B - C$ 的最小值为 $4 5^{∘}$ B、当 $E ， F$ 运动时，三棱锥体积 $B - A E F$ 不变 C、当 $E ， F$ 运动时，存在点 $E ， F$ 使得 $A E / / B F$ D、当 $E ， F$ 运动时，二面角 $C - E F - B$ 为定值

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11. 已知 $F_{1}$ 为双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，过点 $F_{1}$ 的直线与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2 a^{2}$ 交于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $F_{1} ， B$ 之间），与双曲线 $E$ 在第一象限的交点为 $P$ ，若 $F_{1} A = B P ， ∠ A O B = 90 °$ $(O$ 为坐标原点)，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{x - a} + \frac{x_{}^{2}}{2} + 3 x - l n (x + 3) + 2^{2 - x + a}$ 存在零点，则实数 $a$ 的值为（）

A、-3 B、-2 C、-1 D、2

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， m) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) + c o s ω x^{} (ω > 0)$ ， $f (x_{1}) = 0$ ， $f (x_{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | 的最小值为 π$ ，则 $ω$ =

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15. 某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为 $\frac{32}{3}$ ，则该三棱锥外接球的表面积

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16. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y^{} (p > 0)$ 的焦点为F，准线为 $l$ ，点 $Q (2 ， y_{0})$ 在抛物线上，点 $K$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点，且 $| Q K | = \sqrt{2} | Q F |$ ，过点 $P (4 ， 2)$ 向抛物线作两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} =$

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别 $a ， b ， c$ ，且 $b c o s A + a c o s B = 2 c c o s A$

(1)、求角A的值；

(2)、已知 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 D C ， A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值

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18. 某企业举行招聘考试，共有 $1000$ 人参加，分为初试和复试，初试成绩总分 $100$ 分，初试通过后参加复试．
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

(1)、若所有考生的初试成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ = 65$ ， $σ = 15$ ，试估计初试成绩不低于 $80$ 分的人数；（精确到个位数）

(2)、复试共三道题，每答对一题得 $10$ 分，答错得 $0$ 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，后两题答对的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望.

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19. 如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ A B C = 2 ∠ A B D = 9 0^{∘}$ ， $△ S A B$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形且 $S D = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ S B$ ；

(2)、求平面 $B S A$ 与平面 $S C D$ 所成角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $G$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $A_{2} G$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{8}{3}$ 相切，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（ $A ， B$ 不在 $x$ 轴上）且 $\vec{O Q} \cdot \vec{A B} = 0 ，$ (O为坐标原点)，求 $\frac{2 \sqrt{2} | A B |}{{| O Q |}^{2}}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - 2 x ， m \in R . g (x) = c o s x + \frac{3}{2} x^{2}$ ，其中e为自然对数的底数．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若函数 $h (x)$ 存在两个不同的极值点，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x o y$ 中，已知曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数， $θ \in [0 ， π]$ ），在极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 是以 $(1 ， \frac{π}{2})$ 为圆心且过极点O的圆．

(1)、分别写出曲线 $C_{1}$ 普通方程和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l ： θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 与曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别交于M、N两点（异于极点O），求 $| M N |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - t | + | x + t |$ ， $t \in R$ ．

(1)、若 $t = 1$ ，求不等式 $f (x) \leq 8 - x^{2}$ 的解集；

(2)、已知 $m + n = 4$ ，若对任意 $x ∈ R$ ，都存在 $m > 0$ ， $n > 0$ 使得 $f (x) = \frac{4 m^{2} + n}{m n}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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