四川省内江市2023届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $(1 + 3 i) (2 \bar{z} - z) = 10$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 已知全集 $U = R$ ， $M = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ， $N = {x ∣ l o g_{2} x \leq 1}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $(- \infty ， 0] ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(3 + \infty)$

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3. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 $[0 ， 50) 、 [50 ， 100) 、 [100 ， 150) 、$ $[150 ， 200) 、$ $[200 ， 300)$ 和 $[300 ， 500)$ 六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14．日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（）

A、从2日到5日空气质量越来越差 B、这14天中空气质量指数的中位数是214 C、连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日 D、这14天中空气质量指数的平均数约为189

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4. 我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、2

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5. 函数 $f (x) = x c o s x + (s i n x) l n | x |$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} - a$ 和 $g (x) = \frac{l n x}{x} + b$ 有相同的极大值，则 $a + b =$ （）

A、2 B、0 C、-3 D、-1

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7. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{3} + 2$ D、6

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8. 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即 $∠ A B C$ ）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即 $∠ A D C$ ）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $D B$ 的长）为14米，则表高（即 $A C$ 的长）约为（）（其中 $t a n 32.5 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 79.5 ° \approx \frac{27}{5}$ ）

A、9.27米 B、9.33米 C、9.45米 D、9.51米

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9. 已知圆锥的母线长为2，侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，则过顶点的截面面积的最大值等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、2

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上有不同的三点A、B、P，且A、B关于原点对称，直线PA、PB的斜率分别为 $k_{P A}$ 、 $k_{P B}$ ，且 $k_{P A} \cdot k_{P B} = \frac{3}{4}$ ，则离心率 $e$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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11. 将函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $(0 ， \frac{π}{ω})$ 是 $g (x)$ 的一个单调递增区间，且 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有5个零点，则 $ω =$ （）

A、1 B、5 C、9 D、13

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12. 设 $a = l n \frac{13}{5}$ ， $b = \frac{26}{27}$ ， $c = t a n \frac{4}{5}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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二、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 3$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影为.

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14. 若 $(x + a)^{5} (2 - x^{3})$ 的展开式的各项系数和为32，则该展开式中 $x^{4}$ 的系数是.

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15. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为．

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16. 已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， P是圆O： $x^{2} + y^{2} = 49$ 上的一个动点，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、记 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{(n + 1) (n + 2)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 0$ 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；

(2)、在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．

(3)、记乙型号电视机销售量的方差为 $s^{2}$ ，根据茎叶图推断a与b分别取何值时， $s^{2}$ 达到最小值．（只需写出结论）

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19. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 4 5^{∘} ， B C = 3$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，交线段 $B C$ 于点 $D$ （如图1），沿 $A D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $∠ B D C = 9 0^{∘}$ （如图2），点 $E ， M$ 分别为棱 $B C ， A C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥ M E$ ；

(2)、在①图1中 $t a n 2 B = - \frac{4}{3}$ ， ②图1中 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， ③图2中三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大.
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.
问题：已知，试在棱 $C D$ 上确定一点 $N$ ，使得 $E N ⊥ B M$ ，并求平面 $B M N$ 与平面 $C B N$ 的夹角的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 若存在实数k，b，使得函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 对其定义域上的任意实数x同时满足： $f (x) \geq k x + b$ 且 $g (x) \leq k x + b$ ，则称直线： $l ： y = k x + b$ 为函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“隔离直线”.已知 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = 2 e l n x$ （其中e为自然对数的底数）.试问：

(1)、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；

(2)、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，曲线 $C_{1}$ 是以原点 $O$ 为中心， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为焦点的椭圆的一部分，曲线 $C_{2}$ 是以 $O$ 为顶点、 $F_{2}$ 为焦点的抛物线的一部分， $A$ 是曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的一个交点，且 $∠ A F_{2} F_{1}$ 为钝角， $| A F_{1} | = \frac{7}{2}$ ， $| A F_{2} | = \frac{5}{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 所在椭圆和抛物线的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作一条与 $x$ 轴不垂直的直线，分别和曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 交于 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 、 $D$ 四点，若 $G$ 为 $C D$ 的中点， $H$ 为 $B E$ 的中点， $\frac{| B E | \cdot | G F_{2} |}{| C D | \cdot | H F_{2} |}$ 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系中，将曲线 $C_{1}$ 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到曲线 $C_{2}$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s α$ ．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的参数方程；

(2)、已知点 $M$ 在第一象限，四边形 $M N P Q$ 是曲线 $C_{2}$ 的内接矩形，求内接矩形 $M N P Q$ 周长的最大值，并求周长最大时点 $M$ 的坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x^{2} + a |$ （ $x ∈ R$ ）．

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq 4$ ；

(2)、若对于任意 $x \in [1 ， 2]$ ，都有 $f (x) \leq 4$ ，求实数a的取值范围．

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