四川省德阳市2023届高三理数下学期4月三诊考试试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{2}{1 - i}$ （i是虚数单位）对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3} ， B = {x | x^{2} + x - 6 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup [- 2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2)$ D、 $(2 ， 3]$

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3. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n

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4. 已知 $p ： 0 \leq a \leq 2$ ， q：任意 $x \in R ， a x^{2} - a x + 1 \geq 0$ ，则p是q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 $P_{1}$ 低于均衡价格 $P_{0}$ 时，需求量大于供应量，价格会上升为 $P_{2}$ ；当产品价格 $P_{2}$ 高于均衡价格 $P_{0}$ 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格 $P_{0}$ ．能正确表示上述供求关系的图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把 $△ A C D$ 折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $48 \sqrt{2} π$ D、不确定的实数

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7. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + ϕ)$ （ $ω > 0 ， 0 \leq ϕ \leq π$ ）的部分图象如图所示，其中 $A ， B$ 两点之间的距离为5，则 $f (x)$ 的递增区间是（）

A、 $[6 k - 1 ， 6 k + 2] (k \in Z)$ B、 $[6 k - 4 ， 6 k - 1] (k \in Z)$ C、 $[3 k - 1 ， 3 k + 2] (k \in Z)$ D、 $[3 k - 4 ， 3 k - 1] (k \in Z)$

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8. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ x \leq 3 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值是（）

A、-3 B、-6 C、-7 D、12

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9. 已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，若AD与BE交于M，若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 27$ ，则正三角形ABC的边长为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，若将军从点 $P (- 1 ， - 2)$ 处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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11. 已知实数x、y满足 $e^{y} l n x = y e^{x} ， y > 1$ ，则x、y的大小关系为（）

A、 $y \geq x$ B、 $y < x$ C、 $y > x$ D、 $y \leq x$

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12. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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二、填空题

13. 已知 $(1 - a x)^{5} (1 + 3 x)^{4}$ 的展开式中x的系数为2，则实数a的值为．

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14. 设抛物线 $x^{2} = 12 y$ 的焦点为 $F$ ，经过点 $P (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，又知点 $P$ 恰为 $A B$ 的中点，则 $| A F | + | B F | =$

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15. 已知 $△ A B C$ 的外接圆O的半径为1， $C = \frac{π}{3}$ ．从圆O内随机取一点M，若点M在 $△ A B C$ 内的概率恰为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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16. 如图所示，一个正四棱锥 $P_{1} - A B_{1} C_{1} D$ 和一个正三棱锥 $P_{2} - B_{2} C_{2} S$ 所有棱长都相等，F为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，将 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ ， $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ， $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 分别对应重合为P，B，C得到一个组合体．关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②直线AD与直线SF所成角为60°；③ $A B ∥ S P$ ．其中正确结论的个数是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且满足 $a_{2} = 3$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + b_{n} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 及数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 某学校高二年级某学科的教师决定帮助本年级100名对该科学习困难的学生.为了做到精准帮助，教师对这100名学生的学习兴趣、学习态度、学习习惯等进行调查，并把调查结果转化为各学生的学困指标x，将指标x分成 $[0 ， 0.2)$ ， $[0.2 ， 0.4)$ ， $[0.4 ， 0.6)$ ， $[0.6 ， 0.8)$ ， $[0.8 ， 1.0]$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若 $0 \leq x < 0.6$ ，则认定该生为“绝对学困生”，否则认定该生为“相对学困生”；当 $0 \leq x < 0.2$ 时，认定该生为“亟待帮助生”.

(1)、分别求出“绝对学困生”，“亟待帮助生”的人数；并求学困指标的平均值.

(2)、在学困指标处于 $[0 ， 0.4)$ 内的学困生中，随机选取两名，用X表示所选两名学生中“亟待帮助生”的人数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{∘}$ ， P为AB边上一动点， $P D ∥ B C$ 交AC于点D，现将 $△ P D A$ 沿PD翻折至 $△ P D A^{'}$ ．

(1)、 $△ P D A$ 沿PD翻折中是否会改变二面角 $C - B A^{'} - P$ 的大小，并说明理由；

(2)、若PB=CB=2PD=2，E是 $A^{'} C$ 的中点．求证： $D E / /$ 平面 $A^{'} P B$ ，并求当平面 $P D A^{'} ⊥$ 平面PBCD时，二面角 $E - B D - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是其左、右焦点，若 $P$ 是椭圆上的右顶点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 1$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设直线 $x = k y - 1$ 与椭圆交于 $A 、 B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M$ （ $M$ 与 $B$ 不重合），问直线 $M B$ 与 $x$ 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (x + a) l n x (a \leq 1)$ ， $g (x) = x^{2} e^{- x}$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x ， f (x))$ 处的切线斜率均不小于2．

(1)、求证：函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 内存在唯一的零点；

(2)、当x>0时，设函数 $m (x)$ 为 $f (x)$ 与 $g (x)$ 中的较小者，求使 $m (x) \leq k$ 恒成立的k的最小整数值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为 $y = - x + 3 + \sqrt{5}$ ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} s i n θ$ ．

(1)、求圆C的直角坐标方程；

(2)、设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为 $(3 ， \sqrt{5})$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | + | x - a |$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，解不等式 $f (x) \geq 3$ ；

(2)、当 $a \leq 1$ 时，如果 $\forall x \in R ， f (x) \geq 2$ ，求a的取值范围．

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