黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设i为虚数单位，复数z满足 $1 + z i = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2. 设集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in [0 ， 2]}$ ，则（）

A、 $A \cap B = (1 ， 3)$ B、 $A ∩ B = [1 ， 4)$ C、 $A ∪ B = (- 1 ， 4]$ D、 $A \cup B = (- 1 ， 3]$

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3. “ $0 < t < \frac{π}{6}$ ”是“函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在区间 $(- t ， t)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知直线 $l_{1} ： a^{2} x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： b x - (a^{2} + 1) y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $| a b |$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、2 D、1

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5. 已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象如图所示（其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），下面四个图象中可能是 $y = f (x)$ 图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（）

A、432种 B、486种 C、504种 D、540种

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ， $M$ 为 $C$ 上的动点， $N$ 为圆 $A ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y + 16 = 0$ 上的动点，设点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $d$ ，则 $| M N | + d$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、2

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8. 已知不等式 $e^{k x} + 1 > \frac{(x + 1) l n x}{k x}$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (e ， + \infty)$ D、 $(e ， + ∞)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高 B、在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数 C、数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9 D、某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675人

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， ${b_{n}}$ 是公差大于0的等差数列，且 $a_{3} = b_{3}$ ， $a_{7} = b_{7}$ ，则（）

A、 $a_{5} = b_{5}$ B、 $a_{5} < b_{5}$ C、 $a_{1} > b_{1}$ D、 $a_{9} > b_{9}$

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{2}{3} A A_{1}$ ， E，F，P，Q分别为棱AB，AD， $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、AC⊥BP B、 $B_{1} D$ ⊥平面EFPQ C、平面 $B C_{1} D / /$ 平面EFPQ D、直线CE和 $F D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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12. 如图，过双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A，B两点，交x轴于点D， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ A O B$ 的面积为b B、P为AB的中点 C、 $| A B |$ 的最小值为 $2 \sqrt{b^{2} + 1}$ D、若存在点P，使 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{4}$ ，且 $\vec{F_{1} D} = 2 \vec{D F_{2}}$ ，则双曲线C的离心率为2

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三、填空题

13. 已知等边 $△ A B C$ 的重心为O，边长为3，则 $\vec{C O} \cdot \vec{C A} =$ .

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α ， β$ 的终边与单位圆的交点分别为 $A ， B$ ，若直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $c o s (α + β) =$ .

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15. 设函数 $f (x + 1)$ 的图象关于y轴对称，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = e^{- x}$ ，则 $f (l n 3)$ 的值为.

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16. 表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 $△ A M B$ 为等边三角形，空间中的动点P满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，当点P在 $△ A M B$ 所在的平面内运动时，点P的轨迹是；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为.

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四、解答题

17. 羽毛球运动具有拼搏、进步、积极向上的意义，同时还要求运动员具备细心和迅速的敏锐性.某大学羽毛球运动协会为了了解本校学生对羽毛球运动是否有兴趣，从该校学生中随机抽取了300人进行调查，男女人数之比是2：1，其中女生对羽毛球运动有兴趣的占80%，而男生有30人表示对羽毛球运动没有兴趣.
附表： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
a
0.50
0.40
0.25
0.150
0.100
0.050
$x_{a}$
0.455
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841

(1)、完成2×2列联表，根据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为“对羽毛球运动是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计

(2)、为了提高同学们对羽毛球运动的参与度，该校举行一次羽毛球比赛.比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2：0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以2：1取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为 $p = \frac{3}{5}$ ，记小强同学所得积分为X，求X的分布列和期望.

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18. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， D为AB中点， $C D = \sqrt{2}$ .

(1)、若 $B C = C D$ ，求AC的长度；

(2)、若 $A C = 2 B C$ ，求 $\frac{s i n ∠ A D C}{s i n B}$ 的值.

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19. 已知数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{b_{n}}{2^{n - 1}}$ ，其前n项和为 $T_{n}$ ，是否存在正整数n，使得 $T_{n} = 4 - n$ 成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B ∥ D C$ ， $D C = A D = P D = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ 为线段 $P A$ 上一点，点 $F$ 在边 $A B$ 上且 $C F ⊥ B D$ .

(1)、若 $E$ 为 $P A$ 的中点，求四面体 $B C E P$ 的体积；

(2)、在线段 $P A$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $E F$ 与平面 $P F C$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $A E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， O为坐标原点，椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、若椭圆C的上顶点为W，且 $△ W F_{1} F_{2}$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$ ，求椭圆C的标准方程；

(2)、设过椭圆C的内部点 $P (1 ， 0)$ 且斜率为 $k (0 < k \leq \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线l交C于M，N两点，若椭圆C上存在点Q，使得 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O Q}$ ，求b的最大值.

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22. 设函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a e^{x}$ ， $g (x) = - 2 - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、若在y轴右侧，函数 $f (x)$ 图象恒不在函数 $g (x)$ 的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} < l n (2 n + 1)$ .

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a	0.50	0.40	0.25	0.150	0.100	0.050
$x_{a}$	0.455	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841

	有兴趣	没兴趣	合计
男
女
合计