广西邕衡金卷2023届高三理数一轮复习诊断性联考试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z = 1 + \sqrt{2} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} + 3} =$ （）

A、 $- 1 + \sqrt{2} i$ B、 $- 1 - \sqrt{2} i$ C、 $\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} i$ D、 $\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} i$

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2. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（）

A、将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化 B、样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 C、在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数 $R^{2}$ 的值越大，说明拟合的效果越好 D、在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法

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3. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{25 - x^{2}}}$ ， $B = {x | x^{2} + 4 x - 12 < 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 6 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 6] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $[2 ， 5]$ D、 $(- \infty ， - 6) \cup (5 ， + \infty)$

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4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、8 C、32 D、 $16 \sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} s i n 2 x}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a x + 2}$ ，且 $f^{'} (- 1) = 0$ ，在区间 $(- 2 ， b)$ 上有最小值，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，棱长均为 $2$ ． $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则直线 $E F$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$

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8. 如图，在扇形 $A O B$ 中，C是弦 $A B$ 的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ．其中 $O A = O B = r$ ， $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $l$ $(l < r)$ ．则 $C D$ 的长度约为（提示： $x \in (0 ， \frac{1}{2})$ 时， $c o s x \approx 1 - \frac{x^{2}}{2}$ ）（）

A、 $r - \frac{l^{2}}{8 r}$ B、 $\frac{l^{2}}{8 r}$ C、 $r - \frac{l^{2}}{4 r}$ D、 $\frac{l^{2}}{4 r}$

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9. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，点 $P$ 为顶点，点 $O$ 为底面圆心，过轴 $P O$ 的三等分点 $O_{1}$ （靠近点 $P$ ）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（）

A、1：9 B、2：9 C、1：27 D、2：27

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10. 设函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、三个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{8}{3} ， 3)$ C、 $(\frac{13}{6} ， 3]$ D、 $(\frac{8}{3} ， \frac{19}{6}]$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，左焦点为 $F_{1}$ ，虚轴上端点为 $B$ ，直线 $l$ 与双曲线交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $l$ 与直线 $B F_{1}$ 的倾斜角互补，且点 $M (- 4 ， 1)$ 满足 $\vec{M P} + \vec{M Q} = \vec{0}$ ，双曲线的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 2}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 设 $a = - l n 0.7$ ， $b = 0.3 e^{0.3}$ ， $c = \frac{3}{7}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、填空题

13. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{e}$ 的夹角 $θ = \frac{π}{3}$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{e}$ 方向上的投影为.

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14. 现有6个乒乓球，其中3个是新球3个是旧球，不放回地抽取两次，每次取一个球，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到旧球的概率是．

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15. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点， $P ， Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{∘}$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，且 $A D = 3 D C$ ， $B D = 4$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{4}$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ 的最小值．

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18. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = A D = 4$ ， $B A = B C = 2$ ， M为 $P A$ 中点，过C，D，M的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 所得的截面为 $α$ ．

(1)、若 $α$ 与棱 $P B$ 交于点F，画出截面 $α$ ，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；

(2)、求平面 $C D M$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 为了丰富学生的课外活动，学校举办篮球、足球、羽毛球比赛，经过前期的预赛和半决赛，最终甲、乙两个班级进入决赛，决赛中每个项目胜方得8分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军．已知甲班级在篮球、足球、羽毛球中获胜的概率分别为0.4，0.8，0.6，各项目的比赛结果相互独立．

(1)、求甲班级获得冠军的概率；

(2)、用X表示乙班级的总得分，求X的分布列与期望．

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20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D (p ， 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点．当直线 $M D$ 垂直于 $x$ 轴时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， - 1)$ ，过点A的动直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ ，直线 $P B$ 交抛物线 $C$ 于另一点 $R$ ，连接 $Q B$ 并延长交抛物线于点S．证明直线 $Q R$ 与直线 $P S$ 的斜率之和为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{a} (l n x + 1)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $f (x) = x^{2}$ 的两个不等实根，且 $x_{2} > 2 x_{1}$ ，证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > \frac{16}{e^{2}}$ ．

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22. 已知曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = \sqrt{3} s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 是参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、写出曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $A (ρ_{1} ， θ)$ ， $B (ρ_{2} ， θ + \frac{π}{3})$ ， $C (ρ_{3} ， θ + \frac{2 π}{3})$ 在曲线 $C$ 上，求 $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}} + \frac{1}{| O C |^{2}}$ 的值．

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = 2$ ，证明：

(1)、 $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}}) \geq 4$ ；

(2)、 $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \leq 2$ ．

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