广东省汕头市2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， a^{2}}$ ， $B = {1 ， a + 2}$ ，且 $A \cup B = A$ ，则 $a$ 的取值集合为（）

A、 ${- 1}$ B、 ${2}$ C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${1 ， - 1 ， 2}$

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2. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 $0 ~ 255$ .在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）

A、 $256^{3}$ B、27 C、 $255^{3}$ D、6

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3. 已知复数z满足 $(1 + i) \bar{z} = 2 i$ ，则z等于（）

A、 $\sqrt{2} (c o s \frac{π}{4} + i s i n \frac{π}{4})$ B、 $\sqrt{2} (c o s \frac{3 π}{4} + i s i n \frac{3 π}{4})$ C、 $\sqrt{2} (c o s \frac{π}{4} - i s i n \frac{π}{4})$ D、 $\sqrt{2} (c o s \frac{3 π}{4} - i s i n \frac{3 π}{4})$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知C=45°， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则角B为（）

A、30 $°$ B、60 $°$ C、30 $°$ 或150 $°$ D、60 $°$ 或120 $°$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，则 $f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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7. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个平面， $α \cap β = a$ ， $α ∩ γ = b$ ， $β ∩ γ = c$ ，且 $a \cap b = O$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线b与直线c可能是异面直线 B、直线a与直线c可能平行 C、直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D、直线c与平面 $α$ 可能平行

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8. 给出定义：设 $f^{^{'}} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{^{'}} (x)$ 的导函数.若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心.若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + f (\frac{3}{2023}) + ⋯ + f (\frac{4044}{2023}) + f (\frac{4045}{2023}) =$ （）

A、-8080 B、-8090 C、-8092 D、-8096

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二、多选题

9. 已知曲线 $C ： x^{2} + y^{2} c o s α = 1$ ， $α \in [0 ， π]$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C可能是圆，也可能是直线 B、曲线C可能是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 C、当曲线C表示椭圆时，则 $α$ 越大，椭圆越圆 D、当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 $\sqrt{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（）

A、 $A M = \frac{\sqrt{39}}{2}$ B、 $B N = \frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $∠ M P N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{21}$ D、 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$

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11. 已知数列为 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 2 \sqrt{2} + 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \sqrt{2} n - \sqrt{2} + 1$ B、数列 ${b_{n}}$ 是递减数列 C、数列 ${b_{n}}$ 是等差数列 D、数列 ${a_{n}}$ 中任意三项不能构成等比数列

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12. 已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为 $r (0 < r < 2)$ ，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时， $V = 7 \sqrt{3} π$ B、V存在最大值 C、当r在区间 $(0 ， 2)$ 内变化时，V逐渐减小 D、当r在区间 $(0 ， 2)$ 内变化时，V先增大后减小

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三、填空题

13. 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - x + 2 y = 0$ 关于直线 $l ： x + y = 0$ 对称的圆的标准方程是.

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14. 已知 $(x^{2} + 1) (x - 2)^{2021} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{2023} (x - 1)^{2023}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2023} =$ .

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15. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占 $5 %$ ，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验次.（结果保留四位有效数字）（ $0.9 5^{5} \approx 0.7738$ ， $0.9 5^{6} \approx 0.735$ ， $0.9 5^{7} \approx 0.6983$ ）.

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16. 阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ．若已知△ABC内接于椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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四、解答题

17. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：
行驶里程/万km
0.00
0.64
1.29
1.93
2.57
3.22
3.86
4.51
5.15
轮胎凹槽深度/mm
10.02
8.37
7.39
6.48
5.82
5.20
4.55
4.16
3.82
以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.

(1)、根据散点图，可认为散点集中在直线 $y = b x + a$ 附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i}$
$\sqrt{(\sum_{i = 1}^{9} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{9} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}$
2.57
6.20
115.10
29.46
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{({\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) ({\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}$

(2)、通过散点图，也可认为散点集中在曲线 $y = c_{1} + c_{2} l n (x + 1)$ 附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程 $\hat{y} = 10.11 - 3.75 l n (x + 1)$ 及该模型的决定系数 $R^{2} = 0.998$ .已知（1）中的线性回归模型为 $\hat{y} = 9.158 - 1.149 x$ ，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.
附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即 $R^{2} = r^{2}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{t a n x \cdot t a n 2 x}{t a n 2 x - t a n x} + \sqrt{3} (s i n^{2} x - c o s^{2} x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $x \in (0 ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $l ⊂$ 平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ ， $l \cap A_{1} C_{1} = E$ ， $A_{1} E = 3 E C_{1}$ .

(1)、设 $l ∩ B_{1} C_{1} = P$ ， $l \cap C_{1} D_{1} = Q$ ，试在所给图中作出直线 $l$ ，使得 $l ⊥ C E$ ，并说明理由；

(2)、设点A与（1）中所作直线 $l$ 确定平面 $α$ .
①求平面 $α$ 与平面ABCD的夹角的余弦值；
②请在备用图中作出平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面，并写出作法.

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20. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n} a_{n + 1}^{2} - 2 (a_{n}^{2} - 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0 ， n \in N^{*}$

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} ， T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求 $S_{n} + T_{n}$ ，并确定最小正整数 $n$ ，使得 $S_{n} + T_{n}$ 为整数．

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21. 如图， $F_{1} (- c ， 0)$ 、 $F_{2} (c ， 0)$ 为双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，抛物线 $C_{2}$ 的顶点为坐标原点，焦点为 $F_{2}$ ，设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $P (m ， n)$ ，且 $| P F_{1} | = 7$ ， $| P F_{2} | = 5$ ， $∠ P F_{2} F_{1}$ 为钝角.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作不垂直于 $x$ 轴的直线l，依次交 $C_{1}$ 的右支、 $C_{2}$ 于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究 $\frac{| A D | \cdot | N F_{2} |}{| B C | \cdot | M F_{2} |}$ 是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = - l n x$ ， $g (x) = x^{3} - a x + \frac{1}{4}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $g (x_{1}) = g (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2 x_{0} = 0$ ；

(2)、用 $m i n {m ， n}$ 表示m，n中的最小值，记函数 $h (x) = m i n {f (x)$ ， $g (x)} (x > 0)$ ，若函数 $h (x)$ 有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

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行驶里程/万km	0.00	0.64	1.29	1.93	2.57	3.22	3.86	4.51	5.15
轮胎凹槽深度/mm	10.02	8.37	7.39	6.48	5.82	5.20	4.55	4.16	3.82

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i}$	$\sqrt{(\sum_{i = 1}^{9} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{9} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}$
2.57	6.20	115.10	29.46