广东省惠州市2023届高三一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = | 4 - 3 i |$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-2 B、 $- 2 i$ C、1 D、 $i$

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2. 设集合 $M = {x \in Z ∣ 100 < 2^{x} < 1000}$ ，则 $M$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、9 D、无穷多个

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3. 数据 $68 ， 70 ， 80 ， 88 ， 89 ， 90 ， 96 ， 98$ 的第15百分位数为（）

A、69 B、70 C、75 D、96

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4. 如图1，在高为 $h$ 的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2 ， A B ⊥ A C$ ．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边 $A B$ 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $A_{1} B_{1} C$ （如图2），则容器的高 $h$ 为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、4 D、6

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5. 若 $t a n α = \frac{c o s α}{3 - s i n α}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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7. 已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{8}$

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8. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果对 $D$ 中的任意一个 $x$ ，都有 $f (x) > 0 ， - x \in D$ ，且 $f (- x) f (x) = 1$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类奇函数”．若某函数 $g (x)$ 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）

A、若0在 $g (x)$ 定义域中，则 $g (0) = 1$ B、若 $g {(x)}_{m a x} = g (4) = 4$ ，则 $g {(x)}_{m i n} = g (- 4) = \frac{1}{4}$ C、若 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则 $g (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 D、若 $g (x)$ 定义域为 $R$ ，且函数 $h (x)$ 也是定义域为 $R$ 的“类奇函数”，则函数 $G (x) = g (x) h (x)$ 也是“类奇函数”

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二、多选题

9. 下列四个命题中为真命题的是（）

A、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{4})$ ，则 $E (ξ) = 1$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ C、已知一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ⋯ ， x_{10}$ 的方差是3，则 $x_{1} + 2 ， x_{2} + 2 ， x_{3} + 2 ， ⋯ ， x_{10} + 2$ 的方差也是3 D、对具有线性相关关系的变量 $x ， y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m ， 2.8)$ ，则实数 $m$ 的值是4

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10. 若 $6^{a} = 2 ， 6^{b} = 3$ ，则（）

A、 $\frac{b}{a} > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ D、 $b - a > \frac{1}{5}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，若 $| A F | = 3$ ，则（）

A、 $p = 1$ B、 $| B F | = \frac{3}{2}$ C、以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 3$

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12. 在如图所示的几何体中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} ， B G ， C C_{1} ， D D_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直，且 $A A_{1} = C C_{1} = D D_{1} = 2 B G = 4 \sqrt{3}$ ，点 $E ， F$ 分别为线段 $B C ， C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A_{1} G$ 与 $△ A E F$ 所在平面相交 B、三棱锥 $C_{1} - B C D$ 的外接球的表面积为 $80 π$ C、直线 $G C_{1}$ 与直线 $A E$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{35}}{35}$ D、二面角 $C_{1} - A D - C$ 中， $N \in$ 平面 $C_{1} A D$ ， $M \in$ 平面 $B A D ， P ， Q$ 为棱 $A D$ 上不同两点， $M P ⊥ A D ， N Q ⊥ A D$ ，若 $M P = P Q = 2$ ， $N Q = 1$ ，则 $M N = \sqrt{7}$

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三、填空题

13. 若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．

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14. 过点 $P (1 ， 1)$ 的弦 $A B$ 将圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则 $| A B | =$ ．

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15. 函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的非负零点按照从小到大的顺序分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots$ ， $x_{n} ， \dots$ ．，若 $x_{3} - x_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $x_{n}$ 的值可以是．（写出符合条件的一个值即可）

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16. 已知点 $D$ 在线段 $A B$ 上， $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $E$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{B E} = \vec{B A} + λ (\frac{\vec{A D}}{| \vec{A D} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) (λ > 0) ， | \vec{C A} | - | \vec{C B} | = 6 ， | \vec{B A} | = 14$ ，设 $\vec{B A} = \vec{a} ，$ 则 $\vec{B E}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为．（结果用 $\vec{a}$ 表示）．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + 2 n - 5$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} (a_{n + 1} - 2)$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 $A B C D$ 的顶点在同一平面上，已知 $A B = B C = C D = 2 ， A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、当 $B D$ 长度变化时， $\sqrt{3} c o s A - c o s C$ 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．

(2)、记 $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，请求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值．

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1 ， A B = 2$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘} ， A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点，求证： $C_{1} M$ $∥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、棱 $B C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3} ?$ 若存在，求线段 $C E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + a}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 0$ 时，不等式 $f (x) \leq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线 $C$ 右支上一动点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 到两条渐近线 $l_{1} ， l_{2}$ 的距离之积为 $\frac{4 b^{2}}{5}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 是曲线 $C$ 在点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处的切线，且 $l$ 分别交两条渐近线 $l_{1} ， l_{2}$ 于 $M ､ N$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ M O N$ 的面积．

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22. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．

(1)、求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

(2)、记该同学第 $n$ 天选择米饭套餐的概率为 $P_{n}$ ．
（i）证明： ${P_{n} - \frac{2}{5}}$ 为等比数列；

（ii）证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{5}{12}$ ．

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