广东省大湾区2023届高三数学联合模拟（二）试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {y | y = 2^{x}}$ ， $B = {x | y = l o g_{2} (3 x - 2)}$ ，则 $(∁_{R} B) \cap A =$ （）

A、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $[0 ， \frac{2}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ D、 $(- \infty ， \frac{2}{3}]$

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足 $z (1 + i) = i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = x s i n 2 x$ B、 $f (x) = x s i n x$ C、 $f (x) = 2^{| x |} s i n x$ D、 $f (x) = 2^{| x |} s i n 2 x$

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4. 如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径 $d$ ，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计 $π$ 的值，下面 $d$ 及 $π$ 的值都正确的是（）

A、 $d = \frac{8 (\sqrt{2} - 1)}{s i n 22.5 °}$ ， $π \approx 8 s i n 22.5 °$ B、 $d = \frac{4 (\sqrt{2} - 1)}{s i n 22.5 °}$ ， $π \approx 4 s i n 22.5 °$ C、 $d = \frac{4 (\sqrt{2} - 1)}{s i n 22.5 °}$ ， $π \approx 8 s i n 22.5 °$ D、 $d = \frac{8 (\sqrt{2} - 1)}{s i n 22.5 °}$ ， $π \approx 4 s i n 22.5 °$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1) ， \vec{b} = (3 ， 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(- \frac{3 \sqrt{10}}{10} ， - \frac{\sqrt{10}}{10})$ C、 $(1 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{3}{5} ， - \frac{1}{5})$

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6. 已知 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n 2 θ = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\sqrt{5}$

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7. 一堆苹果中大果与小果的比例为 $9 ： 1$ ，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为 $5 %$ ，把小果筛选为大果的概率为 $2 %$ ．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（）

A、 $\frac{855}{857}$ B、 $\frac{857}{1000}$ C、 $\frac{171}{200}$ D、 $\frac{9}{10}$

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8. 已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该圆锥的表面积的最小值为（）

A、32π B、28π C、24π D、20π

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = t a n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为π B、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 C、函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若 $- \frac{π}{24} \leq x < \frac{π}{12}$ ，则 $f (x) \geq 1$

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10. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，定义函数 $f (x)$ 为X取值不超过x的概率，即 $f (x) = P (X \leq x)$ ．若 $x > 0$ ，则（）

A、 $f (- x) = 1 - f (x)$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 D、 $P (| X | \leq x) = 2 f (x) - 1$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{\frac{1}{x}}$ ，则（）

A、 $f (x) = f (- x)$ B、 $f (x)$ 的最小值为 $2 e$ C、 $f (x) f (- x)$ 的最小值为 $4$ D、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上单调递增

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12. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线右支上异于顶点的一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆记为圆 $I$ ，圆 $I$ 的半径为 $r$ ，过 $F_{1}$ 作 $P I$ 的垂线，交 $P I$ 的延长线于 $Q$ ，则（）

A、动点 $I$ 的轨迹方程为 $x = 4 (y \neq 0)$ B、 $r$ 的取值范围为（0，3） C、若 $r = 1$ ，则 $t a n ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{20}{9}$ D、动点 $Q$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} = 16 (x \neq 4 且 x > - \frac{16}{5})$

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三、填空题

13. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} > a_{n}$ 且 $S_{n + 1} < S_{n}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项 $a_{n} =$ ．

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14. 某地铁换乘站设有编号为 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ ， $m_{4}$ 的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需时间如下表：
安全出口编号
$m_{1}$ ， $m_{2}$
$m_{2}$ ， $m_{3}$
$m_{3}$ ， $m_{4}$
$m_{1}$ ， $m_{3}$
疏散乘客用时（秒）
120
140
190
160
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号为．

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15. 如图为三棱锥 $A - B C D$ 的平面展开图，其中 $A C = C D = C B = 2$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $C$ ，则该三棱锥的体积为．

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16. 设随机变量T满足 $P (T = i) = \frac{1}{3}$ ， $i = 1$ ， 2，3，直线 $y = x + T$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公共点个数为η，若 $E (η) = \frac{5}{3}$ ，则 $p =$ ．

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $b_{2} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{5}$ ， $b_{4} = a_{14}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $\frac{c_{1}}{b_{2}} + \frac{c_{2}}{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{c_{n}}{b_{n + 1}} = \frac{a_{n + 1}}{3}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．点D为BC边的中点，已知 $c = 2 \sqrt{5}$ ， $2 a s i n C c o s B = a s i n A - b s i n B + \frac{\sqrt{5}}{2} b s i n C$ ， $c o s ∠ C A D = \frac{3}{8}$ ．

(1)、求b；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，在三棱台ABC— $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} = B_{1} C_{1} = C_{1} C = \frac{1}{2} B C = 2 ， A B ⊥ B C$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若二面角 $B - C_{1} C - A$ 的大小是 $\frac{π}{6}$ ，求线段 $A B$ 的长.

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20. 某工厂车间有 $6$ 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙 $3$ 名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责 $2$ 台机器；方案二：由甲乙两人共同维护 $6$ 台机器．

(1)、对于方案一，设 $X$ 为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高?

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21. 已知圆O的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ， P为圆上动点，点F坐标为 $(1 ， 0)$ ，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A．

(1)、求点A的轨迹方程；

(2)、记点A的轨迹为曲线C，过点 $G (4 ， 0)$ 作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线 $x = 1$ 与直线n交于点H，记 $λ = \frac{{S_{△}}_{H F R}}{{S_{△}}_{H F S}}$ ． $μ = \frac{{S_{△}}_{G F S}}{{S_{△}}_{G F R}}$ ，问： $λ \cdot μ$ 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x - a}} - l n x - a$ ，其中a为常数， $e = 2.71828$ …是自然对数的底数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 1$ 时，问 $f (x)$ 有几个零点，请说明理由．

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安全出口编号	$m_{1}$ ， $m_{2}$	$m_{2}$ ， $m_{3}$	$m_{3}$ ， $m_{4}$	$m_{1}$ ， $m_{3}$
疏散乘客用时（秒）	120	140	190	160