广东省潮州市2023届高三二模数学试题

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | - 1 \leq x < 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | x < - 1}$ B、 ${x | x < - 1$ 或 $x \geq 2}$ C、 ${x | x \geq 2}$ D、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x > 2}$

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2. $| \frac{5 + i}{1 - i} | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 若 $\frac{3 s i n α + 2 c o s α}{2 s i n α - c o s α} = \frac{8}{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、-3 B、3 C、-2 D、2

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4. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(4 ， 0)$ 在圆 $M$ 内 B、若圆 $M$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + a = 0$ 恰有三条公切线，则 $a = 9$ C、直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 与圆 $M$ 相离 D、圆 $M$ 关于 $4 x + 3 y - 2 = 0$ 对称

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5. 若 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在区间 $[- t ， t]$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{6}]$

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6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且 $∠ A B C = 120 °$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{50 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $9 π$ C、 $7 π$ D、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$

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7. 设双曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $A$ ， $B$ 两点在双曲线 $C$ 上且关于原点对称，若 $| A B | = 2 | O F |$ ， $| B F | = 3 | A F |$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{6} x \pm 2 y = 0$ B、 $2 x \pm \sqrt{6} y = 0$ C、 $2 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 2 y = 0$

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8. 已知函数 $f (x) = | s i n x |$ ， $g (x) = k x (k > 0)$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图像的公共点个数为 $n$ ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $n = 1$ ，则 $k > 1$ B、若 $n = 3$ ，则 $\frac{2}{s i n 2 x_{3}} = x_{3} + \frac{1}{x_{3}}$ C、若 $n = 4$ ，则 $x_{1} + x_{4} > x_{2} + x_{3}$ D、若 $k = \frac{2}{2023 π}$ ，则 $n = 2023$

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二、多选题

9. 设向量 $\vec{a} = (1 ， - 1) ， \vec{b} = (2 ， 0)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} |$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{a}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（1，0）

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10. 根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（）

A、平均数小于4 B、平均数小于4且极差小于或等于3 C、平均数小于4且标准差小于或等于4 D、众数等于5且极差小于或等于4

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11. 对于一个事件E，用 $n (E)$ 表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，D中， $n (Ω) = 100 ， n (A) = 60 ， n (B) = 40 ， n (C) = 20 ， n (D) = 10 ， n (A ∪ B) = 100 ， n (A ∩ C) = 12$ ， $n (A ∪ D) = 70$ ，则（）

A、A与D不互斥 B、A与B互为对立 C、A与C相互独立 D、B与C相互独立

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ {\vec{C C}}_{1}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 与 $C D_{1}$ 所成夹角可能为 $\frac{π}{3}$ B、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{2}$ C、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ D、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ ､P､C的截面面积的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{2}]$

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三、填空题

13. ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（用数字表示）.

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14. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 1}{x - 1} + m + 1$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.718 ⋯$ ）是奇函数，则实数 $m$ 的值为.

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15. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点F的直线l与抛物线交于 $A ， B$ 两点，点 $A ， B$ 在抛物线准线上的射影分别为 $A_{1} ， B_{1}$ ， $| A_{1} B_{1} | = 10$ ，点P在抛物线的准线上.若AP是 $∠ A_{1} A B$ 的角平分线，则点P到直线l的距离为.

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16. 将数列 ${a_{n}}$ 中的项排成下表：
$a_{1}$
$a_{2}$ ， $a_{3}$
$a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{6}$ ， $a_{7}$
$a_{8}$ ， $a_{9}$ ， $a_{10}$ ， $a_{11}$ ， $a_{12}$ ， $a_{13}$ ， $a_{14}$ ， $a_{15}$
…
已知各行的第一个数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ ， …构成数列 ${b_{n}}$ ， $b_{2} = 3$ 且 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2$ （ $n \in N *$ 且 $n \geq 2$ ），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若 $a_{130} = 19$ ，则第6行的所有项的和为.

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四、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} t a n A t a n C = t a n A + t a n C + \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $c o s A + c o s C$ 的取值范围.

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18. 新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区 $500$ 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期不高于 $6$ 天的患者，称“短潜伏者”，潜伏期高于 $6$ 天的患者，称“长潜伏者”.

(1)、求这 $500$ 名患者中“长潜伏者”的人数，并估计样本的 $80 %$ 分位数（精确到 $0.1$ ）；

(2)、研究发现，有 $5$ 种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有 $2$ 种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这 $2$ 种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是 $500$ 元，设所需要的试验费用为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 图1是由矩形 $A D E B$ ， $R t △ A B C$ 和菱形 $B F G C$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 1$ ， $B E = B F = 2$ ， $∠ F B C = 60 °$ ，将其沿 $A B$ ， $B C$ 折起使得 $B E$ 与 $B F$ 重合，连接 $D G$ ，如图2.

(1)、证明：图2中的 $A$ ， $C$ ， $G$ ， $D$ 四点共面，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C G E$ ；

(2)、求图2中的直线 $C E$ 与平面 $A C G$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 2$ .

(1)、证明数列 ${l n (a_{n} - 1)}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n} - 2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 2$ .

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21. 已知椭圆 $T ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $Q (\sqrt{3} ， - \frac{1}{2})$ 和点 $A (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ ， $T$ 的上顶点到直线 $\sqrt{3} x + y + 3 = 0$ 的距离为2，如图过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ ， $y$ 轴的交点分别为 $M$ ， $N$ ，且 $\vec{A N} = 2 \vec{M A}$ ，点 $A$ ， $C$ 关于原点对称，点 $B$ ， $D$ 关于原点对称，且 $\vec{B D} = λ \vec{N M}$ .

(1)、求 $| M N |$ 的长度；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (\frac{l n x + x}{x})$ （ $e$ 是自然对数的底数）有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{2 - x_{1} - x_{2}}$ .

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