安徽省蚌埠市五河县2023届数学二模试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 对于数集 $A$ ， $B$ ，定义 $A + B = {x | x = a + b ， a \in A ， b \in B}$ ， $A \div B = {x | x =$ $\frac{a}{b}$ ， $a \in A ， b \in B)$ ，若集合 $A =$ ${1 ， 2}$ ，则集合 $(A + A) \div A$ 中所有元素之和为（）

A、 $\frac{10}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{21}{2}$ D、 $\frac{23}{2}$

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2. 复数 $\frac{2 - i}{2 + i}$ =（）

A、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $1 - \frac{4}{5} i$ D、 $1 + \frac{3}{5} i$

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3. $s i n 155 ° s i n 55 ° + c o s 25 ° c o s 55 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 若直线 $y = k x + 4 + 2 k$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， - \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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5. 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（）

A、50% B、32% C、30% D、27%

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，若直线 $A F$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{3 a^{2}}{16}$ 相切，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{- x + b}{{(x + c)}^{2}}$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A、 $b < 0 ， c > 0$ B、 $b > 0 ， c > 0$ C、 $b > 0 ， c < 0$ D、 $b < 0 ， c < 0$

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8. 在△ABC中，已知 $3 b = 2 \sqrt{3} a s i n B$ ，且 $c o s B = c o s C$ ，角A是锐角，则△ABC的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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二、多选题

9. 数列 ${a_{n}}$ 共有 $M$ 项（常数 $M$ 为大于5的正整数），对任意正整数 $k ⩽ M$ ，有 $a_{k} + a_{M + 1 - k} = 0$ ，且当 $n ⩽ \frac{M}{2}$ 时， $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ .记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 $S_{n} ⩽ \frac{1023}{1024}$ ，则 $M ⩽ 20$ B、 ${a_{n}}$ 中可能出现连续五项构成等差数列 C、对任意小于 $M$ 的正整数 $p ， q$ ，存在正整数 $i ， j$ ，使得 $a_{i} + a_{j} = S_{p} - S_{q}$ D、对 ${a_{n}}$ 中任意一项 $a_{r}$ ，必存在 $a_{s} ， a_{t} (s \neq t)$ ，使得 $a_{r} ， a_{s} ， a_{t}$ 按照一定顺序排列可以构成等差数列

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10. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线交于点 $A$ 、 $B$ ，若 $A$ 、 $B$ 两点在准线上的射影分别为 $M$ 、 $N$ ，线段 $M N$ 的中点为 $C$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $A C ⊥ B C$ B、四边形 $A M C F$ 的面积等于 $\frac{1}{2} | A C | | M F |$ C、 $| A F | + | B F | = | A F | \cdot | B F |$ D、直线AC与抛物线相交

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11. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）

A、三棱锥 $A_{1} - B D C_{1}$ 外接球表面积为 $3 π$ B、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值 C、过点 $P$ 平行于平面 $A_{1} B D$ 的平面被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截得的多边形的面积为 $\sqrt{3}$ D、直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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12. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (1 + 4^{x}) - \frac{1}{2} x$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上是减函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 设 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， y)$ ， $\vec{c} = (3 ， - 6)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ = ．

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14. ${(2 x - \sqrt{x})}^{8}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 的项的系数是．

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15. 若直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(2 ， 3)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为．

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16. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ ；则当 $x > 0$ ， $f (x)$ 的解析式为 $f (x) =$ .

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四、解答题

17. 某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在 $100$ 天里的销售记录，绘制了以下频数分布表：
日销售量 $($ 单位：个 $)$
$[0 ， 50)$
$[50 ， 100)$
$[100 ， 150)$
$[150 ， 200)$
$[200 ， 250)$
频数
$15$
$25$
$30$
$20$
$10$
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)、求在未来连续 $3$ 天里，有连续 $2$ 天的日销量都不低于 $100$ 个且另一天的日销售量低于 $50$ 个的概率；

(2)、用 $ξ$ 表示在未来 $3$ 天里日销售量不低于 $150$ 个的天数，求随机变量 $ξ$ 的概率分布、均值 $E (ξ)$ 和方差 $D (ξ)$ ．

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18. △ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a c o s B c o s C + b c o s A c o s C = \frac{c}{2}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = \sqrt{7} ， a + b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2^{n + 1}$ ， $S_{n}$ ， $a$ 成等差数列．

(1)、求 $a$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (2 n - 1) a_{n}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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20. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A C D = 3 0^{∘} ， E$ 为 $A D$ 的中点，点 $F$ 在 $P A$ 上， $A P = 3 A F$ .

(1)、证明： $P C$ $/ /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若 $∠ P D C = ∠ P D B$ ，且 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $B E F$ 夹角的余弦值.

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21. 点 $P$ 在以 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为焦点的双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，已知 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求双曲线的离心率 $e$ ；

(2)、过点 $P$ 作直线分别与双曲线渐近线相交于 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 两点，且 $\vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}} = - \frac{27}{4}$ ， $2 \vec{P P_{1}} + \vec{P P_{2}} = \vec{0}$ ，求双曲线 $E$ 的方程；

(3)、若过点 $Q (m ， 0)$ （ $m$ 为非零常数）的直线 $l$ 与（2）中双曲线 $E$ 相交于不同于双曲线顶点的两点 $M$ 、 $N$ ，且 $\vec{M Q} = λ \vec{Q N}$ （ $λ$ 为非零常数），问在 $x$ 轴上是否存在定点 $G$ ，使 $\vec{F_{1} F_{2}} ⊥ (\vec{G M} - λ \vec{G N})$ ？若存在，求出所有这种定点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - e^{x} + m x$ ，其中 $m \in R$ ，函数 $g (x) = f (x) + e^{x} + 1$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $m = - e$ 时，
（i）求函数 $g (x)$ 的最大值；
（ii）记函数 $φ (x) = | g (x) | - \frac{g (x) + e^{x} - 1}{x} - \frac{1}{2}$ ，证明：函数 $φ (x)$ 没有零点．

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日销售量 $($ 单位：个 $)$	$[0 ， 50)$	$[50 ， 100)$	$[100 ， 150)$	$[150 ， 200)$	$[200 ， 250)$
频数	$15$	$25$	$30$	$20$	$10$