专题06 导数-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、解答题

1. 已知函数 $f (x) = a s i n x - l n (1 + x) ， a \in R$ ．

(1)、若对 $\forall x \in (- 1 ， 0]$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求正实数a的最大值；

(2)、证明： $\sum_{i = 2}^{n} s i n \frac{1}{i^{2}} < l n 2$ ；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + e^{x + 1} - a s i n x$ 的最小值为m，证明：方程 $e^{1 + x - m} - l n (1 + x) = 0$ 有唯一的实数根，（其中 $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）

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2. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性：

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两不等实根，求证：
（i） $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2 e$ ；
（ii） $x_{1} x_{2} > \sqrt{\frac{e}{2 a}}$ ．

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3. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a l n x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时， $2 f (x + 1) - c o s x ≥ 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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4. 设 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = l n x$ ， $h (x) = s i n x + c o s x$ .

(1)、求函数 $y = \frac{h (x)}{f (x)}$ ， $x \in (- π ， 3 π)$ 的单调区间和极值；

(2)、若关于 $x$ 不等式 $f (x) + h (x) \geq a x + 2$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、若存在直线 $y = t$ ，其与曲线 $y = \frac{x}{f (x)}$ 和 $y = \frac{g (x)}{x}$ 共有3个不同交点 $A (x_{1} ， t)$ ， $B (x_{2} ， t)$ ， $C (x_{3} ， t) (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，求证： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 成等比数列.

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5. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 s i n B = s i n A + s i n C$ ．

(1)、证明： $0 < B \leq \frac{π}{3}$ ；

(2)、求 $s i n B \cdot c o s 2 B$ 的最大值．

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6. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{x} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 零点个数；

(2)、若 $| f (x) | > a l n x - a$ 恒成立，求a的取值范围．

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - x - x l n x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求方程 $f (x) = 0$ 的解；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围并证明 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{1}{2 e}$ ．

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + a}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (n) = \frac{1}{2 e^{n} - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $g (1) + g (2) + \cdot \cdot \cdot + g (n) < \frac{3}{4}$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{a}{x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $F (x) = \frac{1}{g (s i n (x - 1))} - f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减，求a的取值范围．

(2)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} s i n \frac{1}{k + 1} < l n (n + 1)$ ， n， $k \in N^{*}$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - x l n x$ ．

(1)、设 $a = 0$ ．
①求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．
②试问 $f (x)$ 有极大值还是极小值？并求出该极值．

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， e)$ 上恰有两个零点，求a的取值范围．

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11. $f (x) = x - a l n (1 + x)$ ，

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明 $f (x) \geq 0$ ；

(3)、证明对于任意正整数 $n$ ，都有 $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{4 n - 1} + \frac{1}{4 n} > 2 l n 2$ .

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12. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x - a x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $g (x) = f (x) - l n (x + 1)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值；

(2)、证明： $s i n \frac{1}{2} + s i n \frac{1}{3} + s i n \frac{1}{4} + ⋯ + s i n \frac{1}{n} > l n \frac{n + 1}{2} (n > 1$ 且 $n \in N^{*}$ ）.

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13. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + s i n x - 1$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $1 \leq a < 2$ 时，求函数 $g (x) = (x - 2) f (x)$ 零点的个数．

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14. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 1) - 1 (a \geq 1)$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；

(2)、若 $f (x)$ 没有零点，求a的取值范围．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 4 + a l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有2个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} + x_{1}^{2} > \frac{3}{4}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = (x + a)^{2} + 2 l n x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} < f (x_{2}) < x_{2}$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $g (x) = a (x^{2} - 1) l n x - {(x - 1)}^{2} (a \neq 0)$ 有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： $(3 a - 1) (x_{1} + x_{3} + 2) < 2$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{π}} - \frac{a}{e^{x}}$

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[- π ， 0]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ ，判断关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{e^{π}}$ 在 $[(2 k + 1) π ， (2 k + 2) π] (k \in N^{*})$ 内解的个数，并说明理由．

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19. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - a l n (x - a) ， a \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $g (x) = f (x + a) - a (x + \frac{1}{2} a - 1)$ 的两个极值点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $0 < f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - b x - c (0 < a ⟨ 1 ， b ⟩ 0)$ .

(1)、若 $a = b$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，且 $x_{1} > x_{2}$ ，证明： $\frac{e^{x_{1}}}{a} + \frac{e^{x_{2}}}{1 - a} > \frac{4 b}{a}$ .

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21. 设函数 $f (x) = x - s i n \frac{π x}{2}$ .

(1)、证明：当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 0$ ；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a l n | x |$ ，若 $g (x)$ 有且仅有2个零点，求 $a$ 的值.

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22. 已知 $k \in R$ ， $a > 0$ ，设函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{k}{a} x^{2}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底， $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、当 $a = 1 ， k = \frac{1}{2}$ 时，证明：函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(2)、若对任意正实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 均有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .求实数 $k$ 的取值范围，并证明 $x_{2} + x_{3} > 4$ .

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a l n x$ .（其中 $a$ 为常数）

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(3)、当 $0 \leq a < 1$ 时，试讨论函数 $y = f (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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24. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x) = l n x$ ．

(1)、若 $0 < a \leq \frac{e}{2}$ ，求证： $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(2)、若存在 $a$ ，使得 $f (x) > g (x) + b$ 对于任意的 $x > 0$ 成立，求最大的整数 $b$ 的值．

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25. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $e x_{1} + (e - 2) x_{2} \geq λ x_{1} x_{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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26. 已知定义域为D的函数 $y = f (x)$ ，其导函数为 $y^{'} = f^{'} (x)$ ，满足对任意的 $x \in D$ 都有 $| f^{'} (x) | < 1$ ．

(1)、若 $f (x) = a x + l n x$ ， $x \in [1 ， 2]$ ，求实数a的取值范围；

(2)、证明：方程 $f (x) - x = 0$ 至多只有一个实根；

(3)、若 $y = f (x)$ ， $x \in R$ 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ ．

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27. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = x l n x + x e^{x} - f (x)$ 有两个极值点，求实数a的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ， $g (x) = l n (x + a)$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) ≥ g (x)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 存在两条公切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} e^{1 - x}$ ， $a$ ， $b \in R$ . $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程是 $y = x + l n 2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $a = e$ ，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 恰有两个零点，求 $b$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + \sqrt{x + 1} - 1$ ．

(1)、若 $f (x) \leq a x$ ，求 $a$ ．

(2)、证明： $0 < x < 1$ ， $(1 + \frac{4}{x}) f (x) < 6$ ．

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31. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - x$ （ $a \in R$ ， e为自然对数的底数）.

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = e^{x - a} - x l n x + (1 - a) x$ ， $a \in (1 ， 3 - l n 3]$ ，记 $g (x)$ 的极小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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32. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a l n x (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 成立，求a的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x c o s x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程；

(2)、对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) < a x^{2} + a x$ ，求a的取值范围．

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34. 已知 $x > - 1$ ，证明：

(1)、 $e^{x} - 1 \geq x \geq l n (x + 1)$ ；

(2)、 $(e^{x} - 1) l n (x + 1) \geq x^{2}$ ．

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35. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{8}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．

(1)、若 $f (x_{1}) = 0$ ，求a的值；

(2)、若 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \geq 2$ ，求a的取值范围．

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36. 已知函数 $f (x) = x (l n x - \frac{1}{2} x - 1)$ ， $h (x) = (a - 3) x + (1 - a + x) l n x - 1$ .

(1)、 $F (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求 $F (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = h (x) - f (x)$ 恰有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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37. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 2) + l n a - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处取得极值，求 $a$ 的值及函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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