专题05 圆锥曲线-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、解答题

1. P是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．

(1)、记P，Q的纵坐标分别为 $y_{P} ， y_{Q}$ ，求 $\frac{y_{P}}{y_{Q}}$ 的值；

(2)、记 $△ P B C ， △ Q A C$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，当 $\frac{1}{2} \leq t a n ∠ A Q B \leq \frac{\sqrt{15}}{5}$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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2. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ ，点 $D (0 ， 2)$ 与双曲线上的点的距离的最小值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线E的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ 与圆 $C ： x^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ 相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记 $△ D A B$ ， $△ O M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $S_{1} - 4 S_{2} = \frac{8}{7}$ 时，求直线l的方程．

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0) ， P (3 ， - \sqrt{7})$ 是双曲线 $C$ 上一点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作斜率大于0的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A ， B$ 两点，若 $P F$ 平分 $∠ A P B$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ 且双曲线 $E$ 经过点 $A (\sqrt{3} ， 2)$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (2 ， 1)$ 作动直线 $l$ ，与双曲线的左、右支分别交于点 $M$ 、 $N$ ，在线段 $M N$ 上取异于点 $M$ 、 $N$ 的点 $H$ ，满足 $\frac{| P M |}{| P N |} = \frac{| M H |}{| H N |}$ ，求证：点 $H$ 恒在一条定直线上．

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5. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且 $\sqrt{3} | P F_{1} | = \sqrt{7} | P F_{2} |$ ， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .

(1)、求双曲线的离心率；

(2)、若双曲线E实轴长为2，过点 $F_{2}$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交双曲线C的右支不同的A，B两点， $Q$ 为 $x$ 轴上一点且满足 $| Q A | = | Q B |$ ，试探究 $\frac{2 | Q F_{2} |}{| A F_{1} | + | B F_{1} | - 4}$ 是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

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6. 已知双曲线 $C$ 的中心在坐标原点，左焦点 $F_{1}$ 与右焦点 $F_{2}$ 都在 $x$ 轴上，离心率为 $3$ ，过点 $F_{2}$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于点 $A$ 、 $B$ ．设 $\frac{| A F_{2} | \cdot | B F_{2} |}{{| A B |}^{2}} = λ$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、若点 $A$ 、 $B$ 都在双曲线 $C$ 的右支上，求 $λ$ 的最大值以及 $λ$ 取最大值时 $∠ A F_{1} B$ 的正切值；（关于求 $λ$ 的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 $\frac{| A F_{2} |}{| A B |}$ 为 $μ$ ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.

(3)、若点 $A$ 在双曲线 $C$ 的左支上（点 $A$ 不是该双曲线的顶点，且 $λ = 1$ ，求证： $△ A F_{1} B$ 是等腰三角形．且 $A B$ 边的长等于双曲线 $C$ 的实轴长的2倍．

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7. 三个互不相同的函数 $y = f (x) ， y = g (x)$ 与 $y = h (x)$ 在区间D上恒有 $f (x) \geq h (x) \geq g (x)$ 或恒有 $f (x) \leq h (x) \leq g (x)$ ，则称 $y = h (x)$ 为 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间D上的“分割函数”．

(1)、设 $h_{1} (x) = 4 x ， h_{2} (x) = x + 1$ ，试分别判断 $y = h_{1} (x) 、 y = h_{2} (x)$ 是否是 $y = 2 x^{2} + 2$ 与 $y = - x^{2} + 4 x$ 在区间上的“分割函数”，请说明理由；

(2)、求所有的二次函数，使得该函数是 $y = 2 x^{2} + 2$ 与 $y = 4 x$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上的“分割函数”；

(3)、若 $[m ， n] \subseteq [- 2 ， 2]$ ，且存在实数k，b，使得 $y = k x + b$ 为 $y = x^{4} - 4 x^{2}$ 与 $y = 4 x^{2} - 16$ 在区间 $[m ， n]$ 上的“分割函数”，求 $n - m$ 的最大值．

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8. 已知椭圆 $Γ ：$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ .

(1)、已知椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 过椭圆 $Γ$ 的右焦点且垂直于 $x$ 轴，记 $l$ 与 $Γ$ 的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ，若四边形 $A B B^{'} A^{'}$ 是正方形，求正方形 $A B B^{'} A^{'}$ 的内切圆的方程；

(3)、设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆 $Γ$ 上，若 $△ O P Q$ 是等腰直角三角形，其中 $∠ O P Q$ 是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.

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9. 已知双曲线Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中 $a > 0 ， b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ （ $-$ c，0）、 $F_{2}$ （c，0）（其中 $c > 0$ ）.

(1)、若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ；直线l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，在y轴上的截距为 $- 2$ .直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△ $M F_{1} F_{2}$ 的面积；

(2)、以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，求双曲线Γ的离心率.

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10. 已知动点 $M (x ， y)$ 到点 $F (1 ， 0)$ 的距离和它到直线 $x = 2$ 的距离之比等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，动点 $M$ 的轨迹记为曲线 $C$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{F P} = - 2 \vec{F Q}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知 $A (- \sqrt{2} ， 0)$ ，直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与直线 $x = 2$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求证：以 $M N$ 为直径的圆经过点 $F$ .

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11. 椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点， $P$ 为椭圆上的动点．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积；

(3)、若 $Q$ 、 $R$ 为椭圆上异于 $P$ 的点，直线 $P Q$ 、 $P R$ 均与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (0 < r < 1)$ 相切，记直线 $P Q$ 、 $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，是否存在位于第一象限的点 $P$ ，使得 $k_{1} k_{2} = 1$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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12. 已知双曲线 $C$ 上的所有点构成集合 $P = {(x ， y) | a x^{2} - b y^{2} = 1 (a > 0 ， b > 0)}$ 和集合 $Q = {(x ， y) | 0 < a x^{2} - b y^{2} < 1 (a > 0 ， b > 0)}$ ，坐标平面内任意点 $N (x_{0} ， y_{0})$ ，直线 $l ： a x_{0} x - b y_{0} y = 1$ 称为点 $N$ 关于双曲线 $C$ 的“相关直线”．

(1)、若 $N \in P$ ，判断直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一支有2个交点，求证： $N \in Q$ ；

(3)、若点 $N \in Q$ ，点 $M$ 在直线 $l$ 上，直线 $M N$ 交双曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ ，求证： $\frac{| M A |}{| A N |} = \frac{| M B |}{| B N |}$ ．

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13. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $A (0 ， 1)$ ， $T (- \frac{8}{5} ， - \frac{3}{5})$ 两点， $M$ ， $N$ 是椭圆 $E$ 上异于 $T$ 的两动点，且 $∠ M A T = ∠ N A T$ ，若直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率均存在，并分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求证： $k_{1} k_{2}$ 为常数；

(2)、求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的两点， $△ P A B$ 面积的最大值为 $2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $A P$ 、 $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，且 $3 k_{1} = 5 k_{2}$ ．
①求证：直线 $P Q$ 经过定点．
②设 $△ P Q B$ 和 $△ P Q A$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $| S_{1} - S_{2} |$ 的最大值．

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15. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦距为2， $F$ ， $A$ 分别是 $E$ 的左焦点和右顶点，点 $Q$ 在 $E$ 上，且 $\vec{Q F} \cdot \vec{Q A} = | \vec{Q F} | | \vec{Q A} | = 4$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P (- 1 ， \frac{3}{2})$ ，直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与 $E$ 交于不同两点 $M$ ， $N$ ， $△ P M N$ 的内切圆的圆心在直线 $x = - 1$ 上，求直线 $M N$ 的斜率．

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16. 已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (m > 0 ， m \neq \sqrt{2})$ ，点 $A ， B$ 分别是椭圆Γ与 $y$ 轴的交点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），过点 $D (0 ， 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $E ， G$ 两点．

(1)、若椭圆 $Γ$ 焦点在 $x$ 轴上，且其离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $m = k = 1$ ，求 $△ B E G$ 的面积；

(3)、设直线 $A E$ 与直线 $y = 2$ 交于点 $H$ ，证明： $B ， G ， H$ 三点共线．

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17. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C_{1} ： x^{2} - y^{2} = 2$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交双曲线右支于 $P ， A$ 两点，点 $P$ 在第一象限．

(1)、求点 $P$ 横坐标的取值范围；

(2)、线段 $P F_{1}$ 交圆 $C_{2} ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 8$ 于点 $B$ ，记 $△ P F_{2} B ， △ A F_{2} F_{1} ， △ P A F_{1}$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S$ ，求 $\frac{S}{S_{1}} + \frac{S}{S_{2}}$ 的最小值．

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18. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为 $F (1 ， 0)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知椭圆 $E$ 的上顶点 $A$ 在以点 $F$ 为圆心的圆外，过 $A$ 作圆 $F$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与 $x$ 轴交于点 $B$ ，点 $C$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $P$ ，点 $Q$ （都不同于点 $A$ ），记 $△ A B C$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{33}{16}$ ，求圆 $F$ 的方程．

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 过点 $P (1 ， 0)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为弦 $A B$ 的中点，且 $\frac{| P Q |}{| P A | + | P B |} = \frac{1}{3}$ ，求 $l$ 的斜率．

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20. 知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 $F_{2} .$

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、如图，下顶点为A，过点 $B (0 ， 2)$ 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H， $G .$ 求证： $△ A B G$ 与 $△ A O H$ 的面积之积为定值，并求出该定值.

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21. 已知点 $F (0 ， 1)$ ，动点M在直线 $l ： y = － 1$ 上，过点M且垂直于x轴的直线与线段 $M F$ 的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 的一条直径为 $A B$ ，延长 $A O ， B O$ 分别交曲线C于 $S ， T$ 两点，求四边形 $A B S T$ 面积的最小值．

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22. 已知斜率存在的直线 $l$ 过点 $P (1 ， 0)$ 且与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 的斜率为1， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $M$ 的纵坐标为2，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 也在 $x$ 轴上，且不同于点 $P$ ，直线 $A Q ， B Q$ 的斜率满足 $k_{A Q} + k_{B Q} = 0$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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23. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．

(1)、若坐标原点O到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求△AOB的面积．

(2)、试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．

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24. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ，点 $P (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知椭圆 $E$ 的上顶点为 $A$ ，圆 $M ： (x - 1)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，椭圆 $E$ 上是否存在两点 $B ， C$ 使得圆 $M$ 内切于 $△ A B C$ ？若存在，求出直线 $B C$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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25. 已知点 $A$ ，点 $B$ 和点 $C$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上不同的三个点.当点 $A$ ，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 标准方程；

(2)、若 $O$ 为原点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 0$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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26. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，焦距与短轴长均为4．

(1)、求E的方程；

(2)、设任意过 $F_{2}$ 的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过 $F_{1}$ 作平行于l的直线分别交 $P M ， P N$ 于A，B，求 $\frac{| \vec{O A} + \vec{O B} |}{| \vec{O P} |}$ 的取值范围．

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27. 已知直线l与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ， $O D ⊥ A B$ ， D为垂足，点D的坐标为 $(1 ， 1)$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若点E是直线 $y = x - 4$ 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 $E P$ ， $E Q$ ，其中P，Q为切点，试证明直线 $P Q$ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．

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28. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2 ， 0)$ ，且椭圆经过点 $M (\sqrt{3} ， - 1)$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设A、B是x轴上的两个动点，且 $| A M | = | B M |$ ，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．

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29. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， A，B分别是椭圆的左、右顶点，点 $D (x ， y)$ 在椭圆C上，且直线 $A D$ 与 $B D$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $2 x + t y - 3 = 0$ 与椭圆分别相交于M，N两点，直线 $M O$ （O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求 $△ M N E$ 的面积S的最大值．

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30. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 过直线 $l ： x = 2$ 上一点 $P$ 作椭圆的切线，切点为 $A$ ，当 $P$ 点在 $x$ 轴上时，切线 $P A$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，求 $△ P O A$ 面积的最小值.

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31. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < a ⟨ 10 ， b ⟩ 0)$ 的右顶点为 $A$ ，左焦点 $F (- c ， 0)$ 到其渐近线 $b x + a y = 0$ 的距离为2，斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线 $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于A，B两点，且 $| A B | = \frac{8 \sqrt{10}}{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (6 ， 0)$ 的直线 $l_{2}$ 与双曲线 $C$ 交于P，Q两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与直线 $x = 6$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，试问：以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

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32. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于 $M ， N$ 两点，连接 $A M$ ， $A N$ 分别交直线 $x = - \frac{9}{2}$ 于 $P ， Q$ 两点，过点F且垂直于 $M N$ 的直线交直线 $x = - \frac{9}{2}$ 于点R．

(1)、求证：点R为线段 $P Q$ 的中点；

(2)、记 $△ M P R$ ， $△ M R N$ ， $△ N R Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，试探究：是否存在实数 $λ$ 使得 $λ S_{2} = S_{1} + S_{3}$ ？若存在，请求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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33. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F (1 ， 0)$ ，点 $M (\frac{\sqrt{6}}{2} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $\vec{P A} = λ \vec{P B}$ ， $\vec{A Q} = λ \vec{Q B} (λ > 0)$ ，求 $| \vec{O Q} |$ 的最小值（ $O$ 是坐标原点）．

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34. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的左顶点且不与 $x$ 轴重合的直线交 $C$ 的右支于点 $B$ ，交直线 $x = \frac{1}{2}$ 于点 $P$ ，过 $F_{1}$ 作 $P F_{2}$ 的平行线，交直线 $B F_{2}$ 于点 $Q$ ，证明： $Q$ 在定圆上.

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35. 已知过点 $P (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左右两支分别交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围；

(2)、设点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ $(x_{0}^{2} \neq 2 y_{0}^{2})$ ，过点 $Q$ 且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点.当直线 $l_{1}$ 变化时， $\frac{1}{| P A | \cdot | P B |} - \frac{1}{| Q M | \cdot | Q N |}$ 恒为一定值，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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36. 如果曲线 $y = f (x)$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”．已知 $f (x) = x^{2} + a x + 2 l n x$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ．

(1)、当 $f^{'} (1) = 0$ 时，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = - 8$ ， $x_{0} = 8$ 时，是否存在直线 $l_{2}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切？请说明理由；

(3)、当 $a \geq - 5$ 时，如果函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $a$ 的集合 $D$ ；若对任意 $a \in D$ ，曲线 $y = f (x)$ 都不存在与 $l_{1}$ 垂直的切线 $l_{2}$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

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37. 已知O为坐标原点，曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 和曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共点，直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

(1)、若曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 有且仅有两个公共点，求曲线 $C_{1}$ 的离心率和渐近线方程；

(2)、若直线OM经过曲线 $C_{2}$ 上的点 $T (\sqrt{2} ， - 1)$ ，且 $a^{2}$ 为正整数，求a的值；

(3)、若直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} > 1$ ．

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38. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的三个顶点， $F (c ， 0)$ 为其右焦点，直线 $A B$ 与直线 $C F$ 相交于点 $T$ .

(1)、若点 $T$ 在直线 $l ： x = \frac{a^{2}}{c}$ 上，求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、设直线 $C F$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $D$ ， $M$ 是线段 $C D$ 的中点，椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，试探究 $\frac{| T M |}{| C D |}$ 的值是否为定值（与 $a$ ， $b$ 无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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39. 已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右顶点， $M$ 为双曲线上与 $A$ ， $B$ 不重合的点.

(1)、设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是定值；

(2)、设直线 $l ： x = 1$ 与直线 $M A$ 交于点 $P$ ， $l$ 与 $x$ 轴交于点 $S$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{Q S} = 2 \vec{S P}$ ，直线 $B Q$ 与双曲线 $E$ 交于点 $N$ （与 $A$ ， $B$ ， $M$ 不重合）.判断直线 $M N$ 是否过定点，若直线 $M N$ 过定点，求出该定点坐标；若直线 $M N$ 不过定点，请说明理由.

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40. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率之积等于 $- 1$ ，求 $△ O M N$ 的面积的取值范围．

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41. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0) ， F$ 为其焦点，点 $M (2 ， y_{0})$ 在 $C$ 上，且 $S_{△ O F M} = 4$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A ， B$ 是 $C$ 上异于点 $O$ 的两个动点，当 $∠ A O B = 9 0^{∘}$ 时，过点 $O$ 作 $O N ⊥ A B$ 于，问平面内是否存在一个定点 $Q$ ，使得 $| N Q |$ 为定值？若存在，请求出定点 $Q$ 及该定值：若不存在，请说明理由.

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