专题04 立体几何-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、解答题

1. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 棱长均为 $1$ ，且 $A C_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $B C_{1} = 1$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成夹角的余弦值.

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2. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A C = 4 ， B C = 2 ， E F = 1 ， D E = \sqrt{5} ， A D = B E = C F$ .

(1)、求证：平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四面体 $B C D F$ 的体积为2，求二面角 $E - B D - F$ 的余弦值.

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3. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面ABCD；

(2)、设 $P A = A D = 2 A B = 2$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求BC的长．

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4. 如图，在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{1}$ 的半径是1，圆 $O_{2}$ 的半径是2，高是 $\sqrt{3}$ ，圆 $O_{1}$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B = \sqrt{3}$ ， PC是圆台的一条母线．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值；

(2)、当 $P A = 2 \sqrt{3}$ 时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值．

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5. 如图，多面体 $A_{1} C_{1} D_{1} A B C D$ 是由棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿平面 $A_{1} B C_{1}$ 截去一角所得到，在棱 $A_{1} C_{1}$ 上取一点E，过点 $D_{1}$ ， C，E的平面交棱 $B C_{1}$ 于点F．

(1)、求证： $E F ∥ A_{1} B$ ；

(2)、若 $C_{1} E = 2 E A_{1}$ ，求点E到平面 $A_{1} D_{1} C B$ 的距离以及 $E D_{1}$ 与平面 $A_{1} D_{1} C B$ 所成角的大小．

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6. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求直线 $C C_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成的角的大小；

(2)、求证：平面 $C D B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，并求点 $B$ 到平面 $C D B_{1}$ 的距离.

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7. 如图，三角形 $E A D$ 与梯形 $A B C D$ 所在的平面互相垂直， $A E ⊥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B = A E = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $F$ 、 $H$ 分别为 $E D$ 、 $E A$ 的中点．

(1)、求证： $B H ∥$ 平面 $A F C$ ；

(2)、求平面 $A C F$ 与平面 $E A B$ 所成锐二面角的余弦值．

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8. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 2$ ，点M为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、在棱 $B B_{1}$ 上是否存在点Q，使得AQ⊥平面 $B C_{1} M$ ？若存在，求出 $\frac{B_{1} Q}{Q B}$ 的值；若不存在，请说明理由：

(2)、求点C到平面 $B C_{1} M$ 的距离．

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9. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证： $P O ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B / / C D$ ， $A B = 8$ ， $A D = D C = C B = 4$ ， $P O = 2 \sqrt{7}$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上，直线 $A E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，求点 $E$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD， $P D = A D = 2$ ， $A B = 4$ ，点E在线段AB上，且 $B E = \frac{1}{4} A B$ ．

(1)、求证：CE⊥平面PBD；

(2)、求二面角P－CE－A的余弦值．

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11. 如图，在圆锥 $P O$ 中， $A B$ 是底面的直径， $C$ 是底面圆周上的一点，且 $P O = 3$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P O M$ ；

(2)、求二面角 $O - P B - C$ 的余弦值.

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12. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD， $A D ∥ B C ∥ F E ， A B ⊥ A D$ ，若 $A D = 2 ， A F = A B =$ $B C = F E = 1$ .

(1)、求五面体ABCDEF的体积；

(2)、若M为EC的中点，求证：平面 $C D E ⊥$ 平面AMD.

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13. 如图，平面五边形 $A B C D E$ 中，△ $A D E$ 是边长为2的等边三角形， $C D / / A E$ ， $C D = A E$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，将△ $A D E$ 沿 $A D$ 翻折，使点 $E$ 翻折到点 $P$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ B C$ ；

(2)、若 $P C = 3$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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14. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $H$ 为 $△ A B C$ 的内心，直线 $A H$ 与 $B C$ 交于 $M$ ， $∠ P A B = ∠ P A C$ ， $∠ P C A = ∠ P C B$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = 3$ ， $B C = 4$ ，求二面角 $M - P A - C$ 的余弦值.

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15. 圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，四边形 $D E F G$ 为过轴 $O_{1} O_{2}$ 的截面， $D G = 4 \sqrt{2}$ ， $D E = 16$ ， $△ A B C$ 为底面圆 $O_{1}$ 的内接正三角形， $A B ∥ D E$ ．

(1)、证明： $C O_{2} ⊥$ 平面 $A B F G$ ；

(2)、求平面 $F C D$ 与平面 $A B F G$ 所成角的正弦值．

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16. 在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ S A B = ∠ S C B = ∠ A B C = 90 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， S C = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角的余弦值.

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17. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，菱形 $A B C D$ 所在的平面与矩形 $B D E F$ 所在的平面互相垂直．

(1)、若 $M$ 为线段 $B F$ 上的一个动点，证明： $C M$ ∥平面 $A D E$

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ，直线 $C F$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求点 $F$ 到平面 $B C E$ 的距离．

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18. 已知三棱锥 $D - A B C$ 中，△ $B C D$ 是边长为3的正三角形， $A B = A C = A D ， A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $D - A C - B$ 的平面角的正弦值．

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19. 如图，已知点P在圆柱 $O_{1} O$ 的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为 $20 π$ ， $O A = 2$ ， $∠ A O P = 120 °$ ．

(1)、求直线 $A_{1} P$ 与平面 $A B P$ 所成角的大小；

(2)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离．

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ， $P A = P D = \sqrt{10}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ． $O$ 是 $A D$ 的中点， $E$ 是 $P B$ 上一点，且 $A E / /$ 平面 $P O C$ ．

(1)、求 $\frac{P E}{P B}$ 的值；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P O C$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $E$ ， $F$ 分别在棱 $B C$ ， $C D$ 上，平面 $A B D / /$ 平面 $E F G$ .

(1)、求 $\frac{D F}{C F}$ 的值；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D C ⊥ C B$ ，且 $A B = B C = C D = 3$ ，求平面 $E F G$ 与平面 $A C D$ 的夹角的大小.

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22. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，底面边长为2，D为AB的中点.

(1)、证明： $C D ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的大小；

(3)、求直线CA与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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23. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B F E$ 和四边形 $C D E F$ 均是等腰梯形，底面 $A B C D$ 为矩形， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $O$ ， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，且 $E F$ 与底面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ， $A E = E D ， A B = 2 E F = 4 ， A D = 2 \sqrt{2} .$

(1)、求证： $F O ∥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、在线段 $B F$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $C M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{14}}{21}$ ．若存在，请确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A D = 4$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A D$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值.

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25. 如图1，平面图形 $A B C D$ 是一个直角梯形，其中 $A B$ $∥$ $C D ， ∠ A B C = 9 0^{∘} ， B C = D C = 2 ， A B = 6$ ， $E$ 是 $A B$ 上一点，且 $A E = 2 E B$ .将 $△ A E D$ 沿着 $E D$ 折起使得平面 $A E D ⊥$ 平面 $D E B C$ ，连接 $A B ， A C$ ， $M ， N$ 分别是 $A D ， A C$ 的中点，如图2.

(1)、证明：在图2中 $E ， M ， N ， B$ 四点共面，且平面 $A D C ⊥$ 平面 $A E D$ ；

(2)、在图2中，若 $G$ 是线段 $A E$ 上一个动点，当直线 $C G$ 与平面 $B D G$ 所成角的正弦值取得最大值时，求 $G E$ 的长.

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26. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = P D$ ， $P B = P C = B C = 2$ ，二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $3 0^{∘}$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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27. 如图所示的在多面体中， $A B = A D ， E B = E C$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，平面 $B C E ⊥$ 平面 $B C D$ ，点 $F ， G$ 分别是 $C D ， B D$ 中点.

(1)、证明：平面 $A F G$ $/ /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若 $B C ⊥ B D ， B C = B D = 2 ， A B = \sqrt{2} ， B E = \sqrt{5}$ ，求平面 $A F G$ 和平面 $A C E$ 夹角的余弦值.

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28. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P D = 2$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.

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29. 如图，已知矩形 $A B C D$ 是圆柱的轴截面， $P$ 是 $C D$ 的中点，直线 $B P$ 与下底面所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ，矩形 $A B C D$ 的面积为12， $M N$ 为圆柱的一条母线（不与 $A B ， C D$ 重合）．

(1)、证明： $B N ⊥ M P$ ；

(2)、当三棱锥 $B - M N P$ 的体积最大时，求二面角 $N - B M - P$ 的正弦值．

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30. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，点P，Q在侧棱 $S D$ 上，E是侧棱 $S C$ 的中点．

(1)、若 $S Q = Q P = P D$ ，证明：BE∥平面 $P A C$ ；

(2)、若每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，从下面两个条件中选一个，求二面角 $P - A C - D$ 的大小．
① $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ；②P为 $S D$ 的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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31. 如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点， $A D = 2 B C = 2 E F = 4$ ．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形 $A_{1} B_{1} F E$ 处，使得 $A_{1} C = 3$ ，如图2，G在 $A_{1} E$ 上，且 $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{A_{1} G}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C / /$ 平面DFG；

(2)、求平面DFG与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值

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32. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} B_{1} B A$ 和侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 均为正方形， $D$ 为棱 $B C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、若直线 $A C_{1}$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 所成角为30°，求平面 $A_{1} B_{1} B A$ 与平面 $A D C_{1}$ 夹角的余弦值．

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33. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C_{1} ⊥ A_{1} C$ ， $D$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点， $A C_{1} ⊥ B D$ .

(1)、求证：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥ A C$ ， D为线段 $A_{1} C$ 的中点， $A C = 2 B C = 2$ ，求 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值.

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34. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形，已知 $∠ B B_{1} C = 6 0^{∘}$ ， $A B_{1} = a$ ．

(1)、当 $a = \sqrt{6}$ 时，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、设点P为侧棱 $B B_{1}$ 上一动点，当 $a = 3$ 时，求直线 $P C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围．

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35. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ．平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $∠ D A O = ∠ A O P = 60 °$ ， $O A = O P$ ， E，F，G分别为 $B C$ ， $P D$ ， $P C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A F G B$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的正切值．

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36. 如图，在三棱柱 $A D F - B C E$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 120 °$ ， $A F = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 D F = 2$ ， $P$ ， $Q$ 分别为 $A D$ ， $B E$ 的中点，且平面 $A D F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F ⊥ P Q$ ；

(2)、求直线 $P Q$ 与平面 $B D F$ 所成角的正弦值．

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37. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B$ ∥ $C D ，$ $A B ⊥ B C ， A B = B C = 3 ， C D = 4 ， P C = P D = \sqrt{22} ， P A = \sqrt{10}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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38. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为等边三角形， $A_{1} B_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $C C_{1} = 1$ ，点 $M$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、若点 $G$ 是 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，证明；点 $G$ 在平面 $B B_{1} M$ 内；

(2)、求二面角 $B_{1} - B M - C_{1}$ 的正弦值．

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39. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ，侧面 $S C D$ 是等边三角形，侧面 $S B C$ 是等腰直角三角形， $S B = B C$ .

(1)、求证： $S B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P$ 是棱 $S C$ 上的一点，且 $S A / /$ 平面 $P B D$ .求平面 $P B D$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值.

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40. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ， $P B = 2 P C = 2$ ， $A B = A P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B P$ ， $A D$ 的中点，且 $P C ⊥ M N$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若 $△ A B P$ 为等边三角形，求直线 $M N$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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