山东省青岛市莱西市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-05-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ =±3 B、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = 9$ C、 $- \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ =-3 D、 $\sqrt{9 \frac{1}{16}} = 3 \frac{1}{4}$

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2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A、 $3 {(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$ B、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 2 = 0$ C、 $a x^{2} + b x + c$ =0 D、 $x^{2} + 2 x = x^{2} - 1$

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3. 要使二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x的值可以为（）

A、-2 B、4 C、2 D、0

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4. 方程 $x^{2} = x$ 的根是（）

A、1 B、0 C、0或1 D、0或-1

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5. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）．

A、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ 化为 ${(x + 3)}^{2} = 0$ B、 $x^{2} - 5 x - 4 = 0$ 化为 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{41}{4}$ C、 $x^{2} + 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x + 1)}^{2} = 100$ D、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$

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6. 观察下列表格，估计一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的正数解在（）
$x$
－1
0
1
2
3
4
$x^{2} + 3 x - 5$
－7
－5
－1
5
13
23

A、－1和0之间 B、0和1之间 C、1和2之间 D、2和3之间

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7. 下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（）

A、 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{24}$ 和 $\sqrt{54}$ C、 $\sqrt{18}$ 和 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2 \frac{1}{2}}$ 和 $\sqrt{5}$

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8. 已知x₁＝ $\sqrt{3}$ ＋ $\sqrt{2}$ ，x₂＝ $\sqrt{3}$ － $\sqrt{2}$ ，则x₁²＋x₂²等于（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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9. 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、6

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二、填空题

11. 计算 $3 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{2} =$ ．

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12. 若最简二次根式 $\sqrt{7 a + b}$ 与 $\sqrt[b + 3]{6 a - b}$ 是同类二次根式，则 $a + b$ 的值为．

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13. 若关于x的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 没有实数根，则a的取值范围为．

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14. 观察下列等式：
①3﹣2 $\sqrt{2}$ ＝( $\sqrt{2}$ ﹣1)² ， ②5﹣2 $\sqrt{6}$ ＝( $\sqrt{3}$ ﹣ $\sqrt{2}$ )² ， ③7﹣2 $\sqrt{12}$ ＝( $\sqrt{4}$ ﹣ $\sqrt{3}$ )² ，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式．

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15. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 的两个根，则 $n$ 的值为．

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16. 如图，要设计一幅宽20 $c m$ ，长30 $c m$ 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 $2 ： 3$ ，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条的宽度是 $c m$ ，竖彩条的宽度是 $c m$ ．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{72} + \sqrt{50}$ ；

(2)、 $\sqrt{18} \div \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(3)、 $(3 \sqrt{2} + 1) (3 \sqrt{2} - 1)$ ；

(4)、 $\sqrt{2} \times (\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x (x - 2) = x - 2$ ；

(2)、 $3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$ （用配方法）．

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19. 小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
$∵ 2 \sqrt{3} = \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{3} = \sqrt{2^{2} \times 3} = \sqrt{12} ①$
$- 2 \sqrt{3} = \sqrt{{(- 2)}^{2}} \times \sqrt{3} = \sqrt{{(- 2)}^{2} \times 3} = \sqrt{12}$ ②
$∴ 2 \sqrt{3} = - 2 \sqrt{3}$ ③
$∴ 2 = - 2$ ④

(1)、上面的推导过程中，从第步开始出现错误(填序号)；

(2)、写出该步的正确结果．

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20. 关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} - (2 m - 3) x + (m - 1) = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围：

(2)、若 $m$ 为最大负整数，求此时方程的根．

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21. 已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{5}$ ， $y = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ ，试求代数式 $2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2}$ 的值．

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22. 如图，一矩形花坛一边靠墙，长4m，宽3m，为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰为花坛面积的 $\frac{3}{4}$ ，求甬路的宽度．

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23. 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．

(1)、小岛D和小岛F相距多少海里?

(2)、已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）

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24. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）² ．设a+b $\sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b $\sqrt{2}$ ＝m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．这样可以把部分a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝．

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ $\sqrt{5}$ ＝（+ $\sqrt{5}$ ）²；

(3)、化简 $\frac{1}{\sqrt{16 - 6 \sqrt{7}}} - \frac{1}{\sqrt{11 + 4 \sqrt{7}}}$

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25. 某商场促销一种商品，促销方式如下：
①售价为150元/个；②若购买数量超过10个，单价按每增加2个减5元的方式促销；
③一次性购买不得超过30个．
小明一次性购买该商品共用2340元，你能求出他买了多少个吗？

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26. 老师在数学课上提出这样一个问题：已知 $x^{2} + \sqrt{3} x + x = - 1 (x \neq 0)$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到 $x + \frac{1}{x}$ 的值，再利用完全平方公式求出 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ．
参考小明的思路，解决下列问题：

(1)、已知 $x^{2} - \sqrt{5} x - x - 1 = 0 (x \neq 0)$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、已知 $x^{2} + 1 = 3 x (x \neq 0)$ ，求 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值．

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$x$	－1	0	1	2	3	4
$x^{2} + 3 x - 5$	－7	－5	－1	5	13	23