河北省保定市定州市2022-2023学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2023-05-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq - 3$ D、 $x > - 3$

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2. 下列二次根式中，最简二次根式的是 $($ $)$

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $5 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} = 21$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{15} \div \sqrt{5} = 3$

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4. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ A$ 等于（）．

A、120° B、110° C、70° D、30°

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5. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、9，12，15 B、6， 8， 10 C、 $\sqrt{5}$ ， 2，3 D、1.5，2.5， 3.5

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6. 下列说法正确的是（）

A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是正方形 C、对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形

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7. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，过点C作 $C F ∥ B D$ 交 $D E$ 的延长线于点F，则下列结论正确的是（）

A、 $C F < B D$ B、 $E F > D E$ C、 $E F = C F$ D、 $E F = D E$

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 与 $A D$ 交于点E， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则DE的长度为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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9. 如图，菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，则该菱形的面积为（）

A、50 B、25 C、 $\frac{25}{2} \sqrt{3}$ D、12.5

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10. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝40 $\sqrt{2}$ cm，则图1中对角线AC的长为（　　）

A、20cm B、30cm C、40cm D、20 $\sqrt{2}$ cm

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11. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线 $M N$ 的距离分别为 $A C = 2 k m$ ， $B D = 4 k m$ ， $C D = 8 k m$ ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）

A、 $8 k m$ B、 $10 k m$ C、 $12 k m$ D、 $10 \sqrt{2} k m$

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12. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ D、2

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二、填空题

13. 化简： $\sqrt{50} - \sqrt{72}$ ＝．

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 的一边中点为M，对角线交于点O， $O M = 3$ ，则菱形的周长为．

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．

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16. 已知 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，则 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值为．

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17. 如图，若一个三角形的三边长为5、12、 $x$ ，则使此三角形是直角三角形的 $x$ 的值是．

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18. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（用含a，b的代数式表示）．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $4 \sqrt{5} + \sqrt{45} - 4 \sqrt{2} \div \sqrt{8}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{2} + 1)}^{2} - (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ ．

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20. 要把宣传牌 $(A B)$ ，装订在教室的黑板上面（如图所示）．一架梯子（ $A E = 5$ 米）靠在宣传牌 $(A B) A$ ，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌 $(A B)$ 的B处，而底端E向外移到了1米到C处（ $C E = 1$ 米）．测量得 $B M = 4$ 米．求宣传牌 $(A B)$ 的高度（结果用根号表示）．

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21. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1．

(1)、线段 $A B$ 的长度是；

(2)、请在网格中画出线段 $A C = \sqrt{5}$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ，且C，D为 $A B$ 右侧的格点（网格线的交点）；

(3)、以 $A B$ 、 $A C$ 、 $B D$ 三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

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22. 小明在解决问题：已知a= $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求2a²﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a= $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ = $\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}}$ =2﹣ $\sqrt{3}$

∴a﹣2=﹣ $\sqrt{3}$

∴（a﹣2）²=3，a²﹣4a+4=3

∴a²﹣4a=﹣1

∴2a²﹣8a+1=2（a²﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ + $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

(2)、若a= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求4a²﹣8a+1的值．

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23. 如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DE $∥$ AC，CE $∥$ BD.

(1)、求证：四边形OCED是矩形；

(2)、若AD =5，BD =8，计算DE的值.

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24. 在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．

(1)、求证：AD＝AF；

(2)、填空：①当∠ACB＝°时，四边形 ADCF 为正方形；
②连接 DF，当∠ACB＝ °时，四边形 ABDF 为菱形．

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25. 如图：

(1)、【发现证明】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 边上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $E F = D F + B E$ ．小明发现，当把 $△ A B E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转90°至 $△ A D G$ ，使 $A B$ 与 $A D$ 重合时能够证明，请你给出证明过程．

(2)、【类比引申】
①如图2，在正方形 $A B C D$ 中，如果点 $E$ ， $F$ 分别是 $C B$ ， $D C$ 延长线上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系（不要求证明）
②如图3，如果点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 延长线上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，则 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系是（不要求证明）

(3)、【联想拓展】如图1，若正方形 $A B C D$ 的边长为6， $A E = 3 \sqrt{5}$ ，求 $A F$ 的长．

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