广东省东莞市常平镇2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在“珍爱生命，远离毒品”的禁毒标语中，下列文字是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）

A、两点之间线段最短 B、长方形的对称性 C、长方形四个角都是直角 D、三角形的稳定性

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3. 要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x < 1$ D、 $x \neq - 1$

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4. 如图， $A C$ 和 $B D$ 相交于 $O$ 点，若 $O A = O D$ ，不能证明 $△ A O B ≅ △ D O C$ 的是（）

A、 $A B = D C$ B、 $O B = O C$ C、 $∠ A = ∠ D$ D、 $∠ B = ∠ C$

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5. 下列长度的3根小木棒，能够搭成三角形的是（）

A、3 cm 4cm 8cm B、5 cm 6cm 7cm C、4 cm 5cm 10cm D、5cm 7cm 12cm

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{6}$ D、 ${(- 3)}^{- 2} = \frac{1}{9}$

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7. 如图，直线 $a / / b$ ， $△ A B C$ 的顶点C在直线b上，边 $A B$ 与直线b相交于点D．若 $△ B C D$ 是等边三角形， $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $60 °$

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8. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（）

A、三角形的中线 B、三角形的角平分线 C、三角形的高 D、以上答案均符合题意

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9. 设 $p = \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1}$ ， $q = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ ，则 $p$ ， $q$ 的关系是（）

A、 $p = q$ B、 $p > q$ C、 $p = - q$ D、 $p < q$

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是角平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， E、F为垂足，对于结论：① $D E = D F$ ；② $B D = C D$ ；③ $A D$ 上任一点到 $A B$ 、 $A C$ 的距离相等；④ $A D$ 上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）

A、仅①② B、仅③④ C、仅①②③ D、①②③④

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二、填空题

11. 某种细菌的直径是 $0.00000077 m$ ，用科学记数法表示为： $m$ .

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12. 因式分解： $x^{2} - 4 y^{2} =$ ．

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13. 六边形的内角和为．

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14. 如图， $△ A B C ≌ △ D E C$ ，点B，C，D在同一条直线上，且 $C E = 1$ ， $C D = 2$ ，则 $A E$ 的长是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是高， $∠ A = 30 °$ ，若 $B D = 2$ ，则 $A B =$ ．

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16. 已知 $a^{m} = 5$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{2 m - n} =$ ．

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17. 如图，在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ 、 $O B$ 上取点 $M$ 、 $N$ ，连接 $M N$ ， $P M$ 平分 $∠ A M N$ ， $P N$ 平分 $∠ M N B$ ，若 $M N = 2$ ， $△ P M N$ 的面积是2， $△ O M N$ 的面积是8.则 $O M + O N$ 的长是.

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三、解答题

18. 计算： ${(a + 1)}^{2} + (a - 1) (a - 2)$ ．

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19. 解方程： $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 1}$

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20. 如图， $F ， C$ 是 $A D$ 上的两点，且 $A B = D E$ ， $A B ∥ D E$ ， $A F = C D$ ．求证： $B C ∥ E F$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：求作 $A C$ 的垂直平分线 $D E$ ，分别交 $B C$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ；

(2)、在（1）的条件下，连接 $A D$ ，若 $A B = B D$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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22. 先化简： $(a - \frac{3 a}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1}$ ，然后在-2，-1，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．

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23. 某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半.

(1)、购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？

(2)、经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？

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24. 从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是；

(2)、运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a²﹣b²＝21，求a+b的值；
②计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times ⋯ \times (1 - \frac{1}{202 0^{2}}) \times (1 - \frac{1}{202 1^{2}})$ ．

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25. $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是 $A C$ 边上动点， $∠ C B D = α (0 ° < α < 30 °)$ ，把 $△ A B D$ 沿 $B D$ 对折，得到 $△ A^{'} B D$ ．

(1)、如图1，若 $α = 15 °$ ，则 $∠ C B A^{'} =$ $°$ ．

(2)、如图2，点 $P$ 在 $B D$ 延长线上，且 $∠ D A P = ∠ D B C = α$ ．
①连接 $C P$ ，试探究 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接 $C A^{'}$ ，若 $A^{'}$ ， $C$ ， $P$ 三点共线， $B P = 10$ ， $C P = 1$ ，求 $C A^{'}$ 的长．

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