安徽省蚌埠市2022-2023学年八年级下学期G5联动教研期中调研数学试卷

试卷更新日期：2023-05-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{32}$ D、 $\sqrt{15}$

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2. 如果一个直角三角形的两条边长分别为 $6$ 和 $10$ ，那么这个三角形的第三边长为（）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $2 \sqrt{34}$ D、 $8$ 或 $2 \sqrt{34}$

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3. 下列方程是关于 $x$ 的一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + \frac{1}{x} - 2 = 0$ B、 $2 x = 6 x^{2}$ C、 $2 x + 3 = 0$ D、 $x^{2} - y^{2} = 0$

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4. 一元二次方程x²-2x+2＝0的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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5. 在直角坐标系中，点 $P (- 3 ， 3)$ 到原点的距离是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{11}$ D、2

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6. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ，方程应变形为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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7. 若 $\frac{\sqrt{a^{2}}}{a} = - 1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、负数 B、正数 C、非零实数 D、有理数

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8. 某商厦10月份的营业额是50万元，第四季度的营业额是182万元．问第四季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？设平均增长率为 $x$ ，以下方程正确的是（）

A、 $50 (1 + 2 x) = 182$ B、 $50 {(1 + x)}^{2} = 182$ C、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 182$ D、 $50 + 50 (1 + x) + 50 (1 + 2 x) = 182$

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9. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根，且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ ，则m的值为（）

A、-3或1 B、-1或3 C、-1 D、3

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，其面积标记为 $S_{1}$ ，以 $C D$ 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $S_{2}$ ……按照此规律继续下去，则 $S_{2023}$ 的值为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{2018}$ B、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2019}$ C、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2020}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2020}$

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二、填空题

11. 若关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{| k | + 1} + 6 x - 7 = 0$ 是一元二次方程，则 $k =$ ．

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12. 如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为.

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13. 已知： $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 3) = 4$ ，那么 $x^{2} + y^{2} =$ ．

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14. 如图，在正方形纸片 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，将正方形纸片折叠，点 $B$ 落在线段 $A E$ 上的点 $G$ 处，折痕为 $A F$ ，若 $A D = 4$ ，
①则 $G E$ 的长为．
②则 $B F$ 的长为．

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三、解答题

15. 计算：

(1)、 ${(2 - \sqrt{3})}^{2} + (1 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ ．

(2)、 $\sqrt{32} + \sqrt{18} - | 3 - \sqrt{3} | - {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$ ．

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16. 用适当方法解下列方程

(1)、 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ ．

(2)、 $3 x (x - 2) = x - 2$ ．

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17. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点

(1)、判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由．

(2)、求BC边上的高．

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $(m + 1) x^{m^{2} + 1} + (m - 4) x - 2 = 0$ 是一元二次方程，求这个一元二次方程的解．

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19. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”

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20. 观察下列等式：① $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{2}$ ；② $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{6}$ ；③ $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{12}$ ．
解决下列问题：

(1)、根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；

(2)、用含 $n$ （ $n$ 为正整数）的等式表示上面各个等式的规律；

(3)、利用上述结果计算： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$ ．

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21. 阅读下面的材料：
解方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ，于是原方程可变为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ，解得 $y_{1} = 1$ ， $y_{2} = 4$ ．当 $y_{1} = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ，所以 $x = \pm 1$ ；当 $y_{2} = 4$ 时， $x^{2} = 4$ ，所以 $x = \pm 2$ ；所以原方程有四个根： $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{3} = 2$ ， $x_{4} = - 2$ ．
仿照上述换元法解下列方程．

(1)、 $x^{4} + 5 x^{2} - 6 = 0$ ；

(2)、 $\frac{x + 1}{x} - \frac{6 x}{x + 1} + 1 = 0$ ．

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22. 在蚌埠花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价2元，那么平均每天就可多售出3盆，设每盆降价x元．

(1)、现在每天卖出盆，每盆盈利元（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、求当 $x$ 为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利700元，同时又要使顾客得到较多的实惠；

(3)、要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．

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23. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，若动点 $P$ 从点 $C$ 开始，按 $C \to A \to B \to C$ 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为 $t$ 秒．

(1)、当 $t = 4$ 秒时，求 $△ A B P$ 的周长；

(2)、当 $P$ 在 $A B$ 的垂直平分线上时，求 $t$ 的值；

(3)、另有一点 $Q$ ，从点 $C$ 开始，按 $C \to B \to A \to C$ 的路径运动，且速度为每秒 $2 c m$ ，若 $P$ 、 $Q$ 两点同时出发，当 $P$ 、 $Q$ 中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当 $t$ 为何值时，直线 $P Q$ 把 $△ A B C$ 的周长分成相等的两部分？

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