专题02 数列-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、解答题

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 4 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{10} = 55$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $l o g_{2} b_{1} + l o g_{2} b_{2} + ⋯ + l o g_{2} b_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(- 1)^{n} a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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2. 记 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， T_{n} T_{n + 2} = 2 T_{n + 1}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{T_{1}}{T_{2}} + \frac{T_{3}}{T_{4}} + ⋯ + \frac{T_{2 n - 1}}{T_{2 n}} < \frac{2}{3}$ .

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n + 1} = S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求首项 $a_{1}$ 的值及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{2^{n + 1}}}{a_{2} \cdot a_{2^{2}} \cdot a_{2^{3}} ⋯ a_{2^{n}}} (n \in N^{*})$ ，求满足 $a_{n} - b_{n} < 2023$ 的最大正整数n的值．

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4 ， b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2 n + 1$ .

(1)、证明 ${b_{n} - n}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 中有公共项，即存在 $k ， m \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = b_{m}$ 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作 ${c_{n}}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n}$ .

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5. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = S_{n}$ （ $n$ 为正整数）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，若 $b_{m} + b_{m + 1} + b_{m + 2} + ⋯ + b_{m + 9} = 145$ ，求正整数 $m$ 的值.

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n (n \in N^{*})$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n} = 2 {(n + 1)}^{2}$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ；

(2)、若 $S_{n}$ 不超过240，求 $n$ 的最大值.

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为9，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列．

(1)、求 $ \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}}$ 的值；

(2)、设数列 ${l o g_{3} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最大值，并指出 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的取值．

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8. 已知各项均为正数的数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3$ （正整数 $n ≥ 2)$

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；

(2)、求数列{ $a_{n}$ }的前n项和 $S_{n}$ .

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列， $a_{1} + a_{3} = a_{4}$ . ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 3$ ， $b_{3} - b_{2} = 18$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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10. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，公差 $d > 0 ， {b_{n}}$ 是首项为2的等比数列， $a_{4} = b_{2} ， a_{8} = b_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的第 $m$ 项 $b_{m}$ ，满足______（在①②中任选一个条件）， $k \in N^{*}$ ，则将其去掉，数列 ${b_{n}}$ 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 ${c_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前20项和 $S_{20}$ ．
① $l o g_{4} b_{m} = a_{k}$ ② $b_{m} = 3 a_{k} + 1$ ．

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11. 设公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 20$ ， $a_{3}^{2} = a_{2} a_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} + b_{n + 1} = (\sqrt{2})^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{2 n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} = b_{1} b_{2} b_{3} ⋯ b_{n}$ ．
条件①： ${\frac{2 S_{n}}{n} + n}$ 是公差为2的等差数列；条件②： $\frac{1}{b_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ．
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ， $a_{1} = 2$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且____．
在① $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{11}$ 成等比数列；② $\frac{S_{5}}{5} - \frac{S_{3}}{3} = 3$ ；③ $a_{n + 1}^{2} - 3 a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 3 a_{n}$ 这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 1 + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 1$ ， $a_{2 n} = 2 a_{2 n - 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $T_{2 n} < 3$ .

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15. 已知各项都是正数的数列 ${a_{n}}$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n}^{2} = 2 S_{n} - a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、记 $P_{n}$ 是数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和， $Q_{n}$ 是数列 ${\frac{1}{a_{2^{n - 1}}}}$ 的前 $n$ 项和.当 $n \geq 2$ 时，试比较 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ 的大小.

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，其公比 $q \neq - 1$ ， $\frac{a_{4} + a_{5}}{a_{7} + a_{8}} = \frac{1}{27}$ ，且 $S_{4} = a_{3} + 62$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，其公比 $q^{'} = \frac{1}{q}$ ， $b_{1} = a_{1}$ ，求证： $T_{n} < 3$ .

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2^{n - 2} ， n 为奇数 \\ 3 n - 2 ， n 为偶数 \end{array}$ ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并判断1024是数列中的第几项；

(2)、求 $S_{2 n - 1}$ ．

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18. 从①前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + p (p \in R)$ ， ② $a_{n} = a_{n + 1} - 3$ ， ③ $a_{6} = 11$ 且 $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．
在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， ____，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} ， a_{n} ， a_{m}$ 成等比数列，其中 $m ， n \in N^{*}$ ，且 $m > n > 1$ ，求 $m$ 的最小值．

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19. 给出以下条件：① $a_{2}$ ， $a_{3} + 2$ ， $a_{6} + 4$ 成等比数列；② $S_{2}$ ， $a_{6}$ ， $S_{4} + 4$ 成等比数列；③ $\frac{1}{a_{5}}$ 是 $\frac{1}{S_{2}}$ 与 $\frac{1}{S_{5}}$ 的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， ____．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $T_{n}$ 是等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 0$ ， $b_{1} = 1$ ， $S_{2} + T_{2} = S_{3} + T_{3} = S_{4} + T_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} | a_{2 n} |$ ，求数列 ${\frac{1}{c_{n} \cdot c_{n + 1}}}$ 的前n项和 $P_{n}$ ．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + ⋯ + \sqrt{a_{n}} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} + \sqrt{a_{n}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2^{n + 1}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ， $T_{n}$ 是 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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23. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1 ， \frac{S_{n}}{a_{n + 1}} - \frac{S_{n}}{a_{n}} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，试求 $T_{2 n - 1}$ 除以3的余数.

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24. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + l o g_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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25. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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26. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 4 a_{n} - 3$ ，记 $b_{n} = l o g_{2} (a_{n} - 1) + 3$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{b_{n} + 1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} \geq \frac{2}{21}$ ．

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27. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} + S_{n + 1} = S_{n} + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n$ ．

(1)、求 $S_{2 n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{S_{2 n}}$ ，证明： $n ∈ N^{∗}$ ， $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n} < 2$ ．

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28. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{19 a_{n}} ， n 为奇数， \\ a_{n} a_{n + 2} ， n 为偶数， \end{array}$ 数列 ${c_{n}}$ 的前20项和.

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29. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1} = 1$ ， $2 n a_{n} - 2 S_{n} = n^{2} - n$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = 2^{n} - 1$ ，令 $c_{n} = \frac{a_{n}^{2}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $R_{n}$ ．

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30. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， n 为奇数， \\ a_{n} a_{n + 2} ， n 为偶数， \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前20项和．

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31. 已知数列 ${a_{n}}$ （ $n \in N_{+}$ ）满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 n + 3}{n} a_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 是通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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32. 设 $S_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若不等式 ${(1 + \frac{2}{a_{n} + t})}^{a_{n}} \geq 4$ 对任意正整数 $n$ 都成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、设 $b_{n} = e^{\frac{3}{4} a_{n} l n (n + 1)}$ （其中 $e$ 是自然对数的底数），求证： $\frac{b_{1}}{b_{3}} + \frac{b_{2}}{b_{4}} + … + \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} < \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

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33. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 5$ ，且 $a_{1} \neq - 5$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n} + 5}{n}}$ 为常数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若使不等式 $S_{n} > 20$ 成立的最小整数为 $7$ ，且 $a_{1} \in Z$ ，求 $a_{1}$ 和 $S_{n}$ 的最小值.

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34. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{3} = 6$ ， $S_{11} = 132$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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35. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且满足 $(n - 1) S_{n} + 2 n a_{n + 1} = 0$

(1)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等比数列

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{4^{n + 2} \cdot a_{n + 2}^{2}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$

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36. 已知对于任意 $n ∈ N^{∗}$ 函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 在点 $(n ， f (n))$ 处切线斜率为 $a_{n}$ ，正项等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q \in (0 ， 1)$ ，且 $b_{1} b_{5} + 2 b_{3} b_{5} + b_{2} b_{8} = 25$ ，又 $b_{3}$ 与 $b_{5}$ 的等比中项为2．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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37. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} + 2 b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{3}{4} a_{n} - \frac{b_{n}}{2}$ ， $2 b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n} - \frac{a_{n}}{4}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 2 b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若________（从下列三个条件中任选一个），求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .① $a_{1} - 2 b_{1} = 1$ ；② $b_{2} = - \frac{1}{8}$ ；③ $a_{2} - 2 b_{2} = 1$ .

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38. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{9} = 81$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{S_{n}} + \frac{1}{S_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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39. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，公差 $d > 0$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} - 8 |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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40. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $[S_{2023}]$ （ $[x]$ 表示不超过x的最大整数）．

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