专题01 三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

试卷更新日期：2023-05-09 类型：高考模拟

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一、解答题

1. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a - b = b - c = 1$ ．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $s i n A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的最大角为最小角的2倍，求a的值．

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ .已知 $b + c = 2 a c o s B$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{12}$ ，求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{(b + c + a) (b + c - a)}{a c}$ 的取值范围.

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{a c}{4}$ ，其外接圆半径 $R = 2$ ，且 $4 (c o s^{2} A - c o s^{2} B) = (b - \sqrt{3} a) s i n B$ ．

(1)、求 $s i n A$ ；

(2)、若A为钝角，P为 $△ A B C$ 外接圆上的一点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的取值范围．

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4. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $A = 2 B$ .

(1)、若 $b = 2 ， c = 1$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $b + c = \sqrt{3} a$ ，求 $B$ .

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a s i n B = b c o s (A - \frac{π}{6})$ ， $b c o s C = c c o s B$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若点 $D$ 为边 $B C$ 上的一个点，且满足 $c o s ∠ B A D = \frac{4}{5}$ ，求 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的面积之比.

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6. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， 1 + c o s 2 x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， \frac{1}{2})$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最大值及相应 $x$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A为锐角，且 $A + B = \frac{7 π}{12}$ ， $f (A) = 1$ ， $B C = 2$ ，求边 $A C$ 的长．

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $t a n B = \frac{s i n (C + \frac{π}{3})}{s i n (C - \frac{π}{6})}$ .

(1)、求A；

(2)、若D为边BC上一点，且 $2 C D = A D = B D$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状.

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8. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，② $\frac{a + b}{s i n C} = \frac{c - b}{s i n A - s i n B}$ ， ③ $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{c + b}{a}$ ．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ____．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 的中点， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $C = 45 °$ .

(1)、若 $s i n A = \sqrt{2} s i n B$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $B - A = 15 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $s i n A = s i n 2 B$ ， $a = 4$ ， $b = 6$ ．

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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11. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 s i n B = s i n A + s i n C$ ．

(1)、证明： $0 < B \leq \frac{π}{3}$ ；

(2)、求 $s i n B \cdot c o s 2 B$ 的最大值．

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = 2 b c o s B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求B；

(2)、在下面两个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
① $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；②面积为 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ．

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13. 已知 $△ A B C$ 满足 $2 s i n C s i n (B - A) = 2 s i n A s i n C - s i n^{2} B$ ．

(1)、试问：角 $B$ 是否可能为直角？请说明理由；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{s i n C}{s i n A}$ 的取值范围．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 b s i n C \cdot t a n \frac{A}{2} = a$ .

(1)、若角 $B = \frac{π}{6}$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4$ ， $c o s 2 A = \frac{1}{8}$ ，求 $b$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ .

(1)、若 $ω = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $y = f (x)$ 图象在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 内有且仅有一条对称轴，求 $f (\frac{π}{8})$ 的取值范围.

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16. 已知a､b､c分别为 $△ A B C$ 三内角A､B､C所对的边，且 $\sqrt{3} a c o s C + a s i n C = \sqrt{3} b$ .

(1)、求A；

(2)、若 $c^{2} = 4 a^{2} - 4 b^{2}$ ，且 $a + b = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ ，求c的值.

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c o s 2 A + c o s 2 B - c o s 2 C = 1 - 2 s i n A s i n B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $s i n A + s i n B + s i n C$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，已知 $(b - c) (s i n B + s i n C) = a (s i n A - s i n C)$ ，

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围．

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19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{s i n B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{s i n A}$ ．

(1)、证明： $A = B$ ．

(2)、若D为BC的中点，从① $A D = 4$ ， ② $c o s C = \frac{1}{4}$ ， ③ $C D = 2$ 这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{a - c o s B}{a - c o s C} = \frac{s i n B}{s i n C}$ .

(1)、若 $b \neq c$ ，证明： $a^{2} = b + c$ ；

(2)、若 $B = 2 C$ ，证明： $2 c > b > \frac{2}{3}$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $s i n C = s i n A c o s B + \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (A + C)$ ．

(1)、求A；

(2)、在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得 $△ A B C$ 唯一确定，当唯一确定时，求边 $B C$ 上的高h．
条件①： $a = 2 ， s i n C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；条件②： $a = \sqrt{5} ， b = \sqrt{2}$ ．

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22. 已知 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，满足 $\vec{C D} = λ (\frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}) (λ > 0)$ ，且 $c o s \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $△ C A D$ 的面积与 $△ C B D$ 面积的比为 $2 \sqrt{6} ： 3$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $A B = 5$ ，求边 $A B$ 上的高 $C E$ 的值．

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23. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ， $A C = A D = 7$ ， $A B = 3$ ．

(1)、若 $D B = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ，求 $B D$ ．

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24. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 ω x - 2 c o s^{2} ω x + 2 (ω \in N_{+})$ 在 $(π ， \frac{4 π}{3})$ 上单调．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $a = 3$ ， $f (\frac{A}{2}) = 2$ ，求△ABC周长的最大值．

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25. 记 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a s i n (B + C) = b (s i n B - s i n C) + c s i n C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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26. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，在① $a s i n C - c c o s (A - \frac{π}{6}) = 0$ ；② $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ ；③ $b s i n B + c s i n C - a s i n A - b s i n C = 0$ 中任选一个作为条件解答下面两个问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $b = 6$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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27. 已知 $a ， b ， c$ 分别为三角形 $A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且有 $2 s i n (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $2 C D = A D = B D$ ，求 $s i n C$ .

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28. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求B；

(2)、设 $b = 9$ ，若点M是边 $A C$ 上一点， $2 \vec{A M} = \vec{M C}$ ，且 $∠ M A B = ∠ M B A$ ，求 $△ B M C$ 的面积．

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29. 在平面四边形 $A B E C$ 中， $A C - A C c o s A = \sqrt{3} B C s i n ∠ A B C$ ， $E C = \sqrt{3} A C$ ， $∠ A C E = 12 0^{°}$ ， $∠ E B C = 3 0^{°}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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30. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $t a n C = \frac{s i n B}{1 - c o s B}$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $△ A B C$ 是钝角三角形，且面积为 $\frac{a^{2}}{4}$ ，求 $\frac{b^{2}}{a c}$ 的值．

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31. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $α = ∠ B A D$ ， $β = ∠ D A C$ ．

(1)、证明： $\frac{B D}{D C} = \frac{A B \cdot s i n α}{A C \cdot s i n β}$ ；

(2)、若D为靠近B的三等分点， $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $A C = 2$ ， $β = 90 °$ ， $∠ B A C$ 为纯角，求 $S_{△ A C D}$ ．

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32. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $s i n B s i n C = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $c o s B c o s C$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，求△ABC的周长．

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33. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $B D = B C$ ， $∠ D B C = \frac{π}{2}$ ， $∠ D A B = θ$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

(1)、求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、求线段 $A C$ 的长度.

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34. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a c o s C + c c o s A = \sqrt{3} b t a n A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{21}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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35. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 \sqrt{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $c o s ∠ A D B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、若 $△ A B D$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长.

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36. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① $a^{2} - c^{2} = b c$ ；② $b + b c o s A = \sqrt{3} a s i n B$ ；③ $s i n A = \sqrt{3} s i n C$ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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37. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $(a + c) s i n A = s i n A + s i n C$ ， $c^{2} + c = b^{2} - 1$ ．

(1)、求B；

(2)、已知D为 $A C$ 的中点， $B D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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38. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\frac{1 - s i n A}{c o s A} = \frac{1 - c o s 2 B}{s i n 2 B}$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、求 $\frac{a^{2}}{c^{2}} - \frac{5 a}{4 c c o s B}$ 的最小值．

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39. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a c o s (B - C) = (2 \sqrt{3} c s i n B - a) c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{b^{2} + a^{2}}{b}$ 的取值范围.

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40. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{1}{t a n B}$ ， $\frac{1}{s i n A}$ ， $\frac{1}{t a n C}$ 依次组成等差数列.

(1)、求 $\frac{a^{2}}{b c}$ 的值；

(2)、若 $b > c$ ，求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的取值范围.

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