2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十二章二次根式单元检测

试卷更新日期：2023-05-06 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共16分）

1. 下列各式一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt[3]{8}$ B、 $\sqrt{a^{2} + 4}$ C、 $\sqrt{- 3}$ D、 $\sqrt{\frac{a}{b}}$

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2. 要使式子 $\frac{3}{\sqrt{6 - 2 x}}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x < 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq 3$ D、 $x \neq 3$

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3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{16}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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4. 计算 $\sqrt{\frac{b}{a}} \div \sqrt{a b} \times \sqrt{\frac{1}{a b}} (a > 0 ， b > 0)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{a^{2} b} \sqrt{a b}$ B、 $\frac{1}{a b^{2}} \sqrt{a b}$ C、 $\frac{1}{b} \sqrt{a b}$ D、 $b \sqrt{a b}$

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5. 已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且 $q = m n$ ， $p = \sqrt{q + n} + \sqrt{q - m}$ ，则p（）

A、总是奇数 B、总是偶数 C、有时奇数，有时偶数 D、有时是有理数，有时是无理数

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6. 化简 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 的结果为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $- 2 + \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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7. 下列各组二次根式，是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ 与 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{18}$ 与 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{18}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 与 $\sqrt{\frac{2}{3}}$

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8. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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二、填空题（每空3分，共16分）

9. 二次根式 $\sqrt{a - 1}$ 中，字母a的取值范围是。

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10. 在式子 $\frac{\sqrt{3 - x}}{x - 2}$ 中，字母x的取值范围是．

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11. 若 $\sqrt{a (a - 1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a - 1}$ 成立，则 $a$ 的取值范围是.

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12. 如果最简二次根式 $\sqrt{2 x + 1}$ 与 $\sqrt{5}$ 可以合并，则x=

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13. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则 $x^{2} y - x y^{2} =$ .

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14. 已知 $x + y = - 2$ ， $x y = 3$ ，则代数式 $\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值是；

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15. $（ \sqrt{6} + \sqrt{5} ）^{2021} \times （ \sqrt{6} - \sqrt{5} ）^{2022}$ = ．

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16. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3$ ， $b = 6$ ， $c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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三、计算题

17. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{8} + \frac{1}{3} \sqrt{18} - \frac{3}{4} \sqrt{32}$ ；

(2)、 $2 (\sqrt{48} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}}) - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} - 2 \sqrt{0.5})$ ；

(3)、 $\sqrt{50} \times \sqrt{8} - \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ ；

(4)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - {(\sqrt{5} - 1)}^{2}$ ．

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四、综合题（共9题，共72分）

18. 下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： ${(\sqrt{2} + 1)}^{2} - \sqrt{4 \frac{1}{2}}$ ．
解：原式 $= 2 + 2 \sqrt{2} + 1 - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ 第一步
$= 3 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$ 第二步
$= 3$ 第三步

(1)、任务一：以上步骤中，从第步开始出现错误，这一步错误的原因是．

(2)、任务二：请写出正确的计算过程．

(3)、任务三：除纠正上述错误意外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．

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19. 已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ .求：

(1)、 $x + y$ 和 $x y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值.

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20. 已知二次根式 $\sqrt{a + 6}$ ，

(1)、如果该二次根式 $\sqrt{a + 6}$ =5，求a的值；

(2)、已知 $\sqrt{a + 6}$ 为最简二次根式，且与 $\sqrt{\frac{5}{8}}$ 能够合并．
①求a的值；

②求 $\sqrt{a + 6}$ · $\sqrt{\frac{5}{8}}$ ．

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21. $\sqrt{a^{2}} = | a |$ 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：

(1)、化简： $\sqrt{(- 3)^{2}} =$ ， $\sqrt{(3 - π)^{2}} =$ ；

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点如图所示，化简 $- | c - a | + \sqrt{(b - c)^{2}}$ ．

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22. 像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ ， $(\sqrt{a}) (\sqrt{a}) = a (a ≥ 0)$ 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： $(\sqrt{5})$ 与 $(\sqrt{5})$ ， $(\sqrt{2} + 1)$ 与 $(\sqrt{2} - 1)$ ， $(2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5})$ 与 $(2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$ 等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：

(1)、化简：① $\frac{2}{5 \sqrt{2}}$ = ；② $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ = ．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + … + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}) (\sqrt{2022} + 1)$ ．

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23. 设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=2 $\sqrt{3}$ ， b＝ $\sqrt{10}$ ，求a和l．

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24. 若等腰三角形两边长分别为 m，n，且 m，n 满足 2 $\sqrt{3 m - 6}$ +3 $\sqrt{2 - m}$ ＝n-6，求此等腰三角形的周长和面积．

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25. 阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ……①（其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三角形的三边长， $s$ 为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ……②（其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ）

(1)、若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积 $s$ ；

(2)、你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程.

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26. 某居民小区有块形状为矩形 $A B C D$ 的绿地，长 $B C$ 为 $\sqrt{128}$ 米，宽 $A B$ 为 $\sqrt{50}$ 米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为 $(\sqrt{13} + 1)$ 米，宽为 $(\sqrt{13} - 1)$ 米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 的周长．（结果化为最简二次根式）

(2)、除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

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2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十二章 二次根式 单元检测

一、单选题（每题3分，共16分）

二、填空题（每空3分，共16分）

三、计算题

四、综合题（共9题，共72分）

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