山东省枣庄市台儿庄区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-05 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 $\sqrt{{(- 1)}^{2}} = 1$ C、 $a \div a \cdot \frac{1}{a} = a$ D、 ${(- \frac{1}{2} a b^{2})}^{3} = - \frac{1}{6} a^{3} b^{6}$

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2. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若式子 $\sqrt{x + 1} + x^{- 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x ⩾ - 1$ C、 $x ⩾ - 1$ 且 $x \neq 0$ D、 $x ⩽ - 1$ 且 $x \neq 0$

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4. 已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，将含30°角的直角三角板按图所示摆放.若 $∠ 1 = 120 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、120° B、130° C、140° D、150°

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5. 若 $1 0^{x} = N$ ，则称 $x$ 是以10为底 $N$ 的对数.记作： $x = l g N$ .例如： $1 0^{2} = 100$ ，则 $2 = l g 100$ ； $1 0^{0} = 1$ ，则 $0 = l g 1$ .对数运算满足：当 $M > 0$ ， $N > 0$ 时， $l g M + l g N = l g (M N)$ ，例如： $l g 3 + l g 5 = l g 15$ ，则 ${(l g 5)}^{2} + l g 5 \times l g 2 + l g 2$ 的值为（）

A、5 B、2 C、1 D、0

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、 $m > 4$ B、 $m < 4$ C、 $m > 4$ 且 $m \neq 5$ D、 $m < 4$ 且 $m \neq 1$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上， $O C ： B C = 1 ： 2$ ，连接AC，过点O作 $O P ∥ A B$ 交AC的延长线于P.若 $P (1 ， 1)$ ，则 $\tan ∠ O A P$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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8. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{12}$

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9. 如图，点A，C为函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为 $\frac{3}{4}$ 时，k的值为（）

A、-1 B、-2 C、-3 D、-4

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10. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32 $\sqrt{3}$ ，则CD的长为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、8 $\sqrt{3}$

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11. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， ∠ B A C = 120 ° ， A B = A C ， B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $A D = 3$ ，则 $B C =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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12. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $(- 3 ， 0)$ ，顶点是 $(- 1 ， m)$ ，则以下结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③若 $y \geq c$ ，则 $x \leq - 2$ 或 $x \geq 0$ ；④ $b + c = \frac{1}{2} m$ .其中正确的有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若实数m，n满足 $∣ m - n - 5 ∣ + \sqrt{2 m + n - 4} = 0$ ，则 $3 m + n =$ .

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14. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 $△ C D E$ 沿DE翻折得到 $△ F D E$ ，点F落在AE上．若 $C E = 3 cm$ ， $A F = 2 E F$ ，则 $A B =$ cm．

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15. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是 $(- \sqrt{3} ， 3)$ ，则A点的坐标是．

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16. 按一定规律排列的一组数据： $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{7}{17}$ ， $\frac{9}{26}$ ， $- \frac{11}{37}$ ， …．则按此规律排列的第10个数是．

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17. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB是 $⊙ O$ 的弦， $⊙ O$ 的半径为3cm，C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A C B = 60 °$ ，则AB的长为cm．

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18. 已知函数 $y = m x^{2} + 3 m x + m - 1$ 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ ，其中 $a = 2$ ， $b = 1$ .

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20. 为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

(1)、此次调查一共随机抽取了名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为；

(2)、若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；

(3)、现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．

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21. 湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中 $\frac{D H}{A H} \approx 0.618$ ）：伞柄 $A H$ 始终平分 $∠ B A C$ ， $A B = A C = 20 c m$ ，当 $∠ B A C = 120 °$ 时，伞完全打开，此时 $∠ B D C = 90 °$ ．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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22. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= $\frac{m}{x}$ (m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD= $\frac{4}{5}$ ，且点B的坐标为(n，-2)．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

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23. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，AD平分 $∠ B A C$ ，AD交BC于点D， $E D ⊥ A D$ 交AB于点E， $Δ A D E$ 的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、求⊙O的半径r及 $∠ 3$ 的正切值．

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24. 综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t △ A B E$ 绕点B按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ C B E^{'}$ （点A的对应点为点C）．延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点F，连接 $D E$ ．

(1)、猜想证明：
试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图②，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明；

(3)、解决问题：
如图①，若 $A B = 15 ， C F = 3$ ，请直接写出 $D E$ 的长．

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25. 已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

(3)、过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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