山东省临沂市兰山区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-05 类型：中考模拟

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一、单选题

1. sin30°的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 x^{2} + 3 x^{3} = 5 x^{5}$ B、 ${(- 2 x)}^{3} = - 6 x^{3}$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 $(3 x + 2) (2 - 3 x) = 4 - 9 x^{2}$

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4. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）

A、垂线段最短 B、两点确定一条直线 C、两点之间，线段最短 D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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5. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（）

A、正六边形 B、正七边形 C、正八边形 D、正九边形

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 < 0 \\ - 2 x \leq 6 \end{array}$ 的解集在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某厂职工2020年的人均收入约为 $12000$ 元，预计2022年的人均收入约为 $14520$ 元，则人均收入的年平均增长率为（）

A、1% B、1.21% C、10% D、12.1%

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9. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家.下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、35，35 B、34，33 C、34，35 D、35，34

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交 $B A$ 于点M，交 $B C$ 于点N，分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 的内部相交于点P，画射线 $B P$ ，交 $A C$ 于点D，若 $A D = B D$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $36 °$ B、 $54 °$ C、 $72 °$ D、 $108 °$

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11. 如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\sqrt{3} - \frac{π}{4}$ B、 $2 \sqrt{3} - π$ C、 $\frac{(6 - π) \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} - \frac{π}{2}$

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12. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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二、填空题

13. 分解因式： $3 a x^{2} - 3 a y^{2} =$ ．

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14. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则这个箱子中黄球的个数为个．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点B作 $B D ⊥ C B$ ，垂足为B ，且 $B D = 3$ ，连接CD ，与AB相交于点M ，过点M作 $M N ⊥ C B$ ，垂足为N ．若 $A C = 2$ ，则MN的长为．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是边 $B C$ 上的一点，点F在边 $C D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接 $E F$ 交边 $A D$ 于点G．过点A作 $A N ⊥ E F$ ，垂足为点M，交边 $C D$ 于点N．若 $B E = 5 ， C N = 8$ ，则线段 $A B$ 的长为．

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三、解答题

17.

(1)、计算： $\sqrt{12} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} - | 1 - \sqrt{3} |$

(2)、解分式方程： $\frac{5}{x + 3} = \frac{1}{x}$

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18. 为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为 $A$ （不使用）、 $B$ （1~3个）、 $C$ （4~6个）、 $D$ （7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．

(1)、本次调查的样本容量是 ▲ ，请补全条形统计图；

(2)、已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．

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19. 某数学小组要测量学校路灯 $P - M - N$ 的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角 $α$
$α = 58 °$
从D处测得路灯顶部P的仰角 $β$
$β = 31 °$
测角仪到地面的距离
$A B = D C = 1.6 m$
两次测量时测角仪之间的水平距离
$B C = 2 m$
计算路灯顶部到地面的距离 $P E$ 约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据； $c o s 31 ° \approx 0.86 ， t a n 31 ° \approx 0.60 ， c o s 58 ° \approx 0.53 ， t a n 58 ° \approx 1.60$ ）

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20. 如下图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出．

(1)、请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图像对应的函数关系．

(2)、请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境．

(3)、请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是填图①和图②．

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21. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF=AE．

(1)、求证：AF是⊙O的切线；

(2)、若EF=6，sin∠BAC= $\frac{4}{5}$ ，求⊙O的半径．

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22. 某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：

年度（年）	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年度纯收入（万元）	1.5	2.5	4.5	7.5	11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示 $\frac{m}{x}$ （m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax²﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．

(1)、能否选用函数

y = \frac{m}{x}

（m＞0）进行模拟，请说明理由；

(2)、你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；

(3)、甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.

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23. 问题解决：如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E = A F ， D E ⊥ A F$ 于点 $G$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F ， ∠ A E D = 60 ° ， A E = 6 ， B F = 2$ ，求 $D E$ 的长.

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测量项目	测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角 $α$	$α = 58 °$
从D处测得路灯顶部P的仰角 $β$	$β = 31 °$
测角仪到地面的距离	$A B = D C = 1.6 m$
两次测量时测角仪之间的水平距离	$B C = 2 m$