山东省德州市德城区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-05 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣3的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、温州博物馆 B、西藏博物馆 C、广东博物馆 D、湖北博物馆

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3. 一块直角三角板和一把直尺如图摆放，直尺的一边 $D E$ 经过三角板的顶点 $A$ ，若 $D E ∥ C B$ ，则 $∠ D A B$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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4. 与 $1 + \sqrt{15}$ 最接近的整数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）

A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花

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6. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在 $3 \times 3$ 的方格中，如果满足每行、每列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的主格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 $m^{n}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、3 D、6

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7. 某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对 $(m ， n)$ ，在坐标系中进行描点，则正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 2 k - 3 \\ x - 2 y = k \end{array}$ 的解中 $x$ 与 $y$ 的和不小于5，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \geq 8$ B、 $k > 8$ C、 $k \leq 8$ D、 $k < 8$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C > B C$ ．小丽按照下列方法作图：
①作 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ ，交 $B C$ 于点D；

②作 $A C$ 的垂直平分线，交 $A D$ 于点E ．

根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）

A、点E是 $△ A B C$ 的外心 B、点E是 $△ A B C$ 的内心 C、点E在 $∠ B$ 的平分线上 D、点E到 $A C ， B C$ 边的距离相等

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10. 已知整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4} \dots$ ，满足下列条件： $a_{1} = 0 ， a_{2} = - | a_{1} + 1 | ， a_{3} = - | a_{2} + 2 | ， a_{4} = - | a_{3} + 3 | ⋯$ ，以此类推， $a_{2023}$ 的值为（）

A、-2023 B、-2022 C、-1012 D、-1011

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11. 如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到 $△ A^{'} O P^{'}$ ，则 $P P^{'}$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{15}{2}$

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12. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A、cosθ(1+cosθ) B、cosθ(1+sinθ) C、sinθ(1+sinθ) D、sinθ(1+cosθ)

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二、填空题

13. 分解因式： ${2a}^{2} - 4a + 2 =$ ．

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14. 若一元二次方程 $x^{2} - k x + 1 = 0$ 的两根互为相反数，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则点 $B$ 的坐标为．

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，以一条直角边所在直线为轴，把 $△ A B C$ 旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积最大值为．

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17. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值列表如下：
x
…
-3
0
1
3
5
…
y
…
7
-8
-9
-5
7
…
则一元二次方程 $a (2 x - 1)^{2} + b (2 x - 1) + c = 7$ 的解为．

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18. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 6 x + 9}$ ，其中 $x$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x < 3 x - 1 \\ 2 + 3 (x - 1) < 2 (x + 1) \end{array}$ 的整数解．

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20. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，长沙市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位旧学从A．“中国天眼”；B．“5G时代”；C．“夸父一号”；D．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、九（1）班共有名学生；

(2)、请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题？

(3)、D主题所对应扇形圆心角的大小为；

(4)、甲和乙从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．

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21. 某综合实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．为了减小测量误差.小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

课题	测量旗杆的高度
成员	组长××× 组员：×××，×××，×××
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图		说明：左图为测量示意图，线段 $G H$ 表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度 $A C = B D = 1.5 m$ ，测点 $A$ ， $B$ 与 $H$ 在同一条水平直线上， $A$ ， $B$ 之间的距离可以直接测得，且点 $G$ ， $H$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一竖直平面内.点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上，点 $E$ 在 $G H$ 上．
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	$∠ G C E$ 的度数	$25.6 °$	$25.8 °$	$25.7 °$
	$∠ G D E$ 的度数	$31.2 °$	$30.8 °$	$31 °$
	$A$ ， $B$ 之间的距离	$5.4 m$	$5.6 m$

(1)、任务一：两次测量，

A

，

B

之间距离的平均值是

m

；

(2)、任务二：根据以上测量结果，请你帮助该综合实践小组求出学校旗杆

G H

的高度．

（参考数据： $s i n 25.7 ° \approx 0.43$ ， $c o s 25.7 ° \approx 0.90$ ， $t a n 25.7 ° \approx 0.48$ ， $s i n 31 ° ≈ 0.52$ ， $c o s 31 ° ≈ 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ）

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22. 【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．
【问题解决】
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．

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23. 如图， $△ A B C$ 内接于半圆 $O$ ， $A B$ 是直径，过 $A$ 作直线 $M N$ ，使 $∠ M A C = ∠ A B C$ ．

(1)、求证： $M N$ 是半圆的切线；

(2)、已知弧 $A C$ 的中点 $D$ ，要求过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ．（尺规作图，保留作图痕迹）

(3)、若 $B C = 4$ ， $A B = 6$ ，求 $A E$ ．

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24.

(1)、【实验】如图①，点 $O$ 为线段 $M N$ 的中点，线段 $P Q$ 与 $M N$ 相交于点 $O$ ，当 $O P = O Q$ 时，四边形 $P M Q N$ 的形状为；
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
其理论依据是．

(2)、【探究】如图②，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 中点，过点 $E$ 作 $A E$ 的垂线交边 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ，试猜想 $A B$ ， $A F$ ， $C F$ 三条线段之间的数量关系，并给予证明．

(3)、【应用】如图③，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 2$ ， $A C = \sqrt{19}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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25. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 4$ 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)、A，B，C三点的坐标为，，；

(2)、连接 $A P$ ，交线段 $B C$ 于点D，
①当 $C P$ 与x轴平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的值；

②当 $C P$ 与x轴不平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的最大值；

(3)、连接 $C P$ ，是否存在点P，使得 $∠ B C O + 2 ∠ P C B = 90 °$ ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

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x	…	-3	0	1	3	5	…
y	…	7	-8	-9	-5	7	…