辽宁省大连市高新园区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-05 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{3}$ 的倒数是（）

A、3 B、-3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为（）

A、 $7.062 \times 1 0^{3}$ B、 $70.62 \times 1 0^{6}$ C、 $0.7062 \times 1 0^{8}$ D、 $7.062 \times 1 0^{7}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a \cdot a^{5} = a^{5}$ B、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ D、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$

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5. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线 $a$ 、 $b$ 上，已知 $∠ 2 = 35 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 1 > 4 \\ 2 x - 1 \leq 3 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
那么这50名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）

A、3，2 B、3，3 C、2，3 D、3，1

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8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 没有实数根，则实数m的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m > 1$ C、 $m \leq 1$ D、 $m \geq 1$

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于 $\frac{1}{2} F G$ 长为半径作弧，两弧交于点H，作射线 $B H$ 交 $A D$ 于点E，连接 $C E$ ，若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ ， $C E = 4$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{41}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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10. 小明和小强两个人开车从甲地出发匀速行驶至乙地，小明先出发．在整个行驶过程中，小明和小强两人的车离开甲地的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①甲、乙两地相距300千米；②小强的车比小明的车晚出发1小时，却早到1个小时；③小强的车出发后1.5小时追上小明的车．其中正确的结论有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

11. 计算： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) =$ ．

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12. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球和5个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，“摸出红球”的概率是．

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13. 点 $A (3 ， 2)$ 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的坐标为．

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14. 《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，以点A为圆心， $A B$ 为半径画弧，交 $A C$ 于点D，则阴影部分的面积是．（结果保留根号和 $π$ ）

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16. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D = A B + a (a > 0)$ ，将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使 $A B$ 落在 $A D$ 上， $A E$ 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，将 $B E$ 边折起，使点 $B$ 落在 $A E$ 上的点 $G$ 处，连接 $D E$ ，若 $D E = E F$ ，则 $C D =$ （用含 $a$ 的代数式表示）．

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三、解答题

17. 计算： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b}) \div \frac{b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ ．

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18. 为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，学校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，其中60分及以下为D类， $61 ∼ 80$ 分为C类， $81 ∼ 99$ 分为B类，100分为A类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．

(1)、此次抽样调查的样本容量为，竞赛成绩为B类的有人，扇形统计图中竞赛成绩为C类所对应的圆心角为°；

(2)、若这次竞赛成绩为A类或B类的学生可获奖，全校共1200名学生，请估计全校获奖学生人数．

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19. 如图，点A、 $D$ 、 $B$ 、 $E$ 在同一条直线上，若 $A D = B E$ ， $∠ A = ∠ E D F$ ， $∠ E = ∠ A B C .$ 求证： $A C = D F$ ．

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20. 如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为 $10 m$ ），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为 $18 m$ ，若矩形绿地的面积为 $36 m^{2}$ ，求矩形垂直于墙的一边，即 $A B$ 的长．

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21. 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．

(1)、求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；

(2)、若 $2 \leq R \leq 200$ ，求电流I的变化范围．

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22. 如图，一艘渔船在黄海海域由西向东航行到达A处时，测得小岛C位于渔船的北偏东 $70 °$ 方向，该渔船再向东匀速航行2小时后到达B处，此时测得小岛C位于距离渔船30海里的北偏东 $30 °$ 方向．

(1)、填空： $∠ A C B =$ $°$ ；

(2)、求渔船的速度（结果取整数）．（参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $t a n 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上， $C F ⊥ A B$ 于E交 $⊙ O$ 于点F，连接 $O F$ ，点D在 $A B$ 延长线上， $∠ B O F = 2 ∠ B C D$ ．

(1)、如图1，求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图2，过B作 $B M ⊥ C D$ 于M， $E C = 2 O E$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，求 $B M$ 的长．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，动点D从点A出发，沿线段 $A B$ 以 $5 c m / s$ 的速度向终点B运动，当点D不与点A、B重合时，过D作 $D E ⊥ A C$ 于E，以 $A D$ 、 $A E$ 为邻边作 $▱ A D F E$ ．设点D的运动时间为 $t (s)$ ， $▱ A D F E$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为 $S (c m^{2})$ ．

(1)、当点F在 $B C$ 上时，求t的值；

(2)、求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

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25. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 延长线上一点，连接 $A D$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，点E在线段 $A D$ 上，且 $D E = C D$ ，连接 $C E$ ．
求证 $∠ A C E = ∠ B A D$ ．

(1)、独立思考：请解答王老师提出的问题．

(2)、实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，连接 $B E$ ，以B为圆心， $B E$ 长为半径画弧，交 $A E$ 于点F，连接 $B F$ ，探究线段 $A F$ 与 $D E$ 之间的数量关系，并证明．”

(3)、问题解决：数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）条件下，过E作 $E K ⊥ A C$ 于K，若 $D E = 2$ ， $B C = 3 E F$ ，求 $E K$ 的长．”

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26. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + c$ 与x轴交于点A，点 $B (- 4 ， 0)$ ，与y轴交于点C，点 $D (- 3 ， 4)$ 在抛物线上，点P是抛物线上的动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $O D$ ，若 $O P$ 平分 $∠ C O D$ ，求点P的坐标；

(3)、如图2，连接 $B C$ ，抛物线的对称轴交 $B C$ 于点E，连接 $O E$ ，点P在y轴右侧的抛物线上，若 $∠ P O E = 45 °$ ，求点P的坐标．

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册数	0	1	2	3	4
人数	3	13	16	17	1