黑龙江省哈尔滨市松北区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-05 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\frac{1}{5}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、5 D、-5

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2. 下列运算一定正确的是（）

A、 $2 a^{2} \cdot 3 a^{2} = 6 a^{6}$ B、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{4}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{6}$

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3. 下列车标图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，该几何体由5个相同的正方体搭成，它的三视图中，面积相等的是（）

A、主视图与俯视图 B、主视图与左视图 C、俯视图与左视图 D、三个视图的面积都相等

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5. 抛物线 $y = - 2 {(x + 5)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(5 ， 1)$ B、 $(- 5 ， - 1)$ C、 $(- 5 ， 1)$ D、 $(5 ， - 1)$

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6. 方程 $\frac{1}{x + 2} = \frac{3}{x - 2}$ 的解为（）

A、 $x = 4$ B、 $x = - 4$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC=70°，AO $∥$ CD，则∠OCD的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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8. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $12000 (1 + x) = 14520$ B、 $12000 (1 + 2 x) = 14520$ C、 $12000 (1 + x^{2}) = 14520$ D、 $12000 {(1 + x)}^{2} = 14520$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ A C$ ，且 $A D = 3$ ， $B D = 2$ ， $D E = 4$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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10. 如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（）米．

A、150 B、110 C、75 D、70

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二、填空题

11. 2022年11月29日，中国发射了神舟十五号载人飞船，发射过程中飞船的最快速度达到了28000千米/小时．将28000用科学记数法表示为．

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12. 在函数 $y = \frac{x - 5}{2 x + 2}$ 中，自变量的取值范围是．

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13. 计算 $\sqrt{27} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的结果是．

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14. 把多项式x³﹣25x分解因式的结果是

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - 2 x > 5 \\ 3 x - 2 < 7 \end{array}$ 的解集是：．

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16. 不透明袋子中装有6个红球，4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则抽到红球的概率为．

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17. 已知反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象经过点 $(- 6 ， a)$ ，则a的值为．

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18. 一个扇形的圆心角为150°，弧长 $20 π cm$ ，则此扇形的半径是 $cm$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ，若 $t a n ∠ C A D = \frac{1}{2}$ ， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ，则 $B C =$ ．

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20. 如图，矩形 $A B C D$ ，点E为 $A B$ 上一点，连接 $C E$ ，在 $C E$ 上取一点F，连接 $B F$ ，过F作 $C E$ 的垂线交 $A D$ 于点H，若 $∠ E B F + ∠ B C E = 90 °$ ， $C E = 2 F H$ ， $A D = 6$ ， $C E = 2 \sqrt{10}$ ，则 $C D$ 的长是．

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三、解答题

21. 先化简，再求代数式 $(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值，其中 $x = 3 t a n 30 ° + \sqrt{2} c o s 45 °$ ．

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22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段 $A B$ 、 $D E$ 的端点均在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出以 $A B$ 为底的等腰三角形 $A B C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15}{2}$ ，点C在小正方形的顶点上；

(2)、在图中画出以 $D E$ 为一边的等腰三角形 $D E F$ ，且 $△ D E F$ 的面积为5，点F在小正方形的顶点上，连接 $C D$ ，请直接写出 $D C$ 的长度．

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23. 某中学开展以“我理想的职业”为主题的调查活动，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“ $A$ ”表示“公务员”，“ $B$ ”表示“教师”，“ $C$ ”表示“医生”，“ $D$ ”表示“其他”，下图是根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：

(1)、本次问卷调查，共调查了多少人？

(2)、请通过计算补全条形统计图；

(3)、如果该中学有学生2000人，请你估计该学校学生以“公务员”为理想职业的学生约有多少人？

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24. 已知，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 向两个方向延长，分别至点 $E$ 和点 $F$ ，且使 $B E = D F$ ，连接 $A E$ 、 $E C$ 、 $F C$ 、 $A F$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

(2)、如图2，当 $E F = 2 B D$ 时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形 $A B D$ 面积的 $\frac{3}{2}$ ．

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25. 智云商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需325元，若购进甲种纪念品3作，乙种纪念品1件，需435元．

(1)、甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？

(2)、智云商场决定购进甲、乙两种纪念品共40件，且购进两种纪念品的总资金不超过1850元，则最多购进甲种纪念品多少件？

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26. 已知：四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C 、 B D$ 即相交于点F，连接 $O C$ ， $∠ B C O = ∠ A B D$ ．

(1)、如图1，求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、如图2，过点F作 $F H ⊥ A D$ 于点H，延长 $H F$ 交 $B C$ 于点R．求证： $B R = C R$ ；

(3)、如图3，在（2）的条作下，点E、点G分别是 $F D ， A D$ 上的点，连接 $A E$ 、 $E G$ 、 $O R$ ， $∠ A D B = 2 ∠ C A E$ ， $E G = D G = \frac{15}{4}$ ， $E F = 2$ ， $t a n ∠ F O R = \frac{7}{6}$ ．求 $⊙ O$ 的半径．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为 $y = - x + 6$ ，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + b x + c$ 交x轴于点A和点B，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t， $△ P B C$ 的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，点D在线段 $O B$ 上，连接PD、CD， $∠ P D C = 45 °$ ，点F在线段BC上， $E F ⊥ B C$ ， FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若 $∠ G E D + ∠ D C E = 180 °$ ， $D C > D E$ ， $S_{△ C D E} = 15$ ，求点P的横出标．

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