江苏省盐城市东台市第四联盟2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列现象是数学中的平移的是（）

A、树叶从树上落下 B、电梯从底楼升到顶楼 C、骑自行车时轮胎的滚动 D、钟摆的摆动

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2. 有两根6cm、11cm的木棒，小明同学要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为（）

A、3cm B、16cm C、20cm D、24cm

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $(a^{3})^{4} = a^{7}$ B、 $(a b)^{2} = a b^{2}$ C、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{9}$ D、 $(- 2 a)^{2} = 4 a^{2}$

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4. 下列各式能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- m - n) (- m + n)$ B、 $(\frac{1}{2} x + 1) (- \frac{1}{2} x - 1)$ C、 $(2 a + b) (2 b - a)$ D、 $(3 x - y) (- 3 x + y)$

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5. 如图，已知∠1=100°，若要使a∥b，则∠2=（）

A、100° B、60° C、40° D、80°

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6. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.000015m，该数值用科学记数法表示为（）

A、1.5×10⁵ B、0.15×10^﹣⁴ C、1.5×10^﹣⁵ D、15×10^﹣⁷

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7. 如图，在下列四组条件中，能判断 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ A B D = ∠ B D C$ C、 $∠ 3 = ∠ 4$ D、 $∠ B A D + ∠ A B C = 180 °$

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8. 如图，将长方形 $A B C D$ 沿线段 $E F$ 折叠到 $E B^{'} C^{'} F$ 的位置，若 $∠ E F C^{'} ＝ 100 °$ ，则 $∠ D F C^{'}$ 的度数为（　　）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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二、填空题

9. 计算： $2 a^{2} \cdot 5 a =$ ．

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10. 若多边形的每个内角都相等且内角和是540°，则该多边形的一个外角为 °.

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11. 若b-a＝3，ab＝1，则3a-3b（a+1）＝.

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12. 等腰三角形的两边长分别是4 $c m$ 和8 $c m$ ，则它的周长是 $c m$ ．

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13. 已知 $m^{2} + n^{2} + 10 = 6 m - 2 n$ ，则 $m - n =$ .

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14. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 55 °$ ， $∠ D = 35 °$ ，则 $∠ E$ 的度数是度

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15. 沿某一方向行驶的汽车经过两次拐弯后与开始行驶的方向正好相反，若汽车第一次是右拐 $110 °$ ，则第二次应该是右拐度

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16. 如图，把 $△ A B C$ 纸片沿 $D E$ 折叠，当点C落在四边形 $A B D E$ 的外部时，此时测得 $∠ 1 = 108 ° ， ∠ C = 35 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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17. 为了求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{101}$ ，因此 $2 S - S = 2^{101} - 1$ ，所以 $S = 2^{101} - 1$ ，即 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100} = 2^{101} - 1$ ，仿照以上方法计算 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n}$ 的值是 .

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18. 古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物.用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是 $1 + 2 = 3$ ，第三个三角形数是 $1 + 2 + 3 = 6$ ，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是 $1 + 3 = 4$ ，第三个正方形数是 $1 + 3 + 5 = 9$ ，……由此类推，图④中第五个正六边形数是.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $2^{2} + (- 2)^{0} - 2^{- 2}$ ；

(2)、 $(- 3)^{2024} \times (\frac{1}{3})^{2023}$ ；

(3)、 $(- 2 x^{2})^{3} + x^{4} \cdot x^{2}$ ；

(4)、 $(x + 2 y) (x - 2 y) - (x - 2 y)^{2}$ .

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20. 如图， $△ A B C$ 的顶点都在边长为 $1$ 的正方形方格纸的格点上，将 $△ A B C$ 向上平移 $4$ 格.
⑴请在图中画出平移后的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；
⑵在图中画出三角形 $△ A B C$ 的高 $C D$ 、中线 $B E$

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21. 推理填空：
如图， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $E G ⊥ B C$ 于 $G$ ， $∠ E = ∠ 1$ ，可得 $A D$ 平分 $∠ B A C$ .
理由如下： $∵ A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $E G ⊥ B C$ 于 $G$ ，（已知）
$∴ ∠ A D C = ∠ E G C = 90 °$ ，（垂直的定义）
$∴ A D ∥ E G$ ，（    ）
$∴ ∠ 1 = ∠$       ▲       ，（    ）
$∠ E = ∠ 3$ ，（    ）
又 $∵ ∠ E = ∠ 1$ ，（已知）
$∴ ∠ 3 = ∠$       ▲       ，（等量代换）
$∴ A D$ 平分 $∠ B A C .$ （角平分线的定义）

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22. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 80 °$ .

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、 $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ B C D = 50 °$ .求证： $A E ∥ D C$ .

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24. 已知 $a^{x} = 2$ ， $a^{y} = 3$ ，求：

(1)、 $a^{x + y}$ 的值；

(2)、 $a^{2 y}$ 的值；

(3)、 $a^{2 x - 3 y}$ 的值.

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25. 已知：点A在射线 $C E$ 上， $∠ C = ∠ D$ .

(1)、如图 $1$ ，若 $A C ∥ B D$ ，说明 $A D ∥ B C$ 的理由；

(2)、如图2，若 $B D ⊥ B C$ ， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $G$ ，请探究 $∠ D A E$ 与 $∠ C$ 的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由.

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26. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如： $4 = 2^{2} - 0^{2}$ ， $12 = 4^{2} - 2^{2}$ .

(1)、请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；

(2)、试证明“神秘数”能被4整除；

(3)、两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由.

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27. 已知BM、CN分别是△ $A_{1} B C$ 的两个外角的角平分线， $B A_{2}$ 、 $C A_{2}$ 分别是 $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C B$ 的角平分线，如图①； $B A_{3}$ 、 $C A_{3}$ 分别是 $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C B$ 的三等分线（即 $∠ A_{3} B C = \frac{1}{3} ∠ A_{1} B C$ ， $∠ A_{3} C B = \frac{1}{3} ∠ A_{1} C B$ ），如图②；依此画图， $B A_{n}$ 、 $C A_{n}$ 分别是 $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C B$ 的n等分线（即 $∠ A_{n} B C = \frac{1}{n} ∠ A_{1} B C$ ， $∠ A_{n} C B = \frac{1}{n} ∠ A_{1} C B$ ），且 $n$ 为整数. $n \geq 2$

(1)、若 $∠ A_{1} =$ 70°，求 $∠ A_{2}$ 的度数；

(2)、设 $∠ A_{1} = α$ ，请用 $α$ 和n的代数式表示 $∠ A_{n}$ 的大小，并写出表示的过程；

(3)、当 $n \geq 3$ 时，请直接写出 $∠ M B A_{n}$ + $∠ N C A_{n}$ 与 $∠ A_{n}$ 的数量关系.

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