四川省绵阳市2023届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = 2 - i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、-1 C、1 D、2

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2. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 3 - m)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、4

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3. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x \in A | - x \notin A}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${0 ， 3}$ D、 ${3}$

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4. 现有4名运动员站成一排照相留念，甲、乙两名运动员都不站两端的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知F为双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，点 $M (0 ， m)$ ，若直线 $M F$ 与双曲线仅有一个公共点，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2$ B、2 C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，且 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\pm \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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7. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，若 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (e^{x}) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1)$

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8. 据统计，我国牛、羊肉集贸市场价格在2019年波动幅度较大，2020年开始逐渐趋于稳定.如下图分别为2019年1月至2020年3月，我国牛肉、羊肉集贸市场月平均价格大致走势图，下列说法不正确的是（）

A、2019年1月至2020年3月，牛肉与羊肉月平均价格的涨跌情况基本一致 B、2019年3月开始至当年末，牛肉与羊肉的月平均价格都一直持续上涨 C、2019年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量高于2020年1至2月的增量 D、同期相比，羊肉的月平均价格一定高于牛肉的月平均价格

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9. 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点 $A$ ， $B$ 处分别作切线相交于点 $C$ ，测得切线 $A C = 99.9 c m$ ， $B C = 100.2 c m$ ， $A B = 180 c m$ ，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）

A、0.62 B、0.56 C、-0.56 D、-0.62

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10. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C ： x^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ 相交于A，B两点，将四边形OACB沿对角线OC翻折成直二面角，则所得四面体OACB的外接球体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{9}{2} π$ C、 $5 π$ D、 $9 π$

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11. 已知M，N是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值是 $\frac{1}{4} a^{2}$ ，则椭圆C的离心率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ，且 $f (x)$ 为 $- x^{3} + (a + 1) x^{2} - (a + 3) x + 3$ 与 $| x | l n | x |$ 中较大的数， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， 4]$ B、 $[- 2 \sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[\frac{1 - \sqrt{33}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{33}}{2}]$

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二、填空题

13. 执行如图所示的程序框图，若输入 $x$ 的值为 $l o g_{2} 3$ ，则输出 $y$ 的值为.

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14. 已知函数 $f (x) = 4 c o s (2 x + \frac{π}{6}) - 3$ ，则 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{6})$ 上的零点个数为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{c}{b} = s i n A - c o s A$ ，则 $\frac{2}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} =$ ．

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16. 如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C D ∥ A B$ ， $A B = A A_{1} = 3$ ， $C D = 2$ ， P为棱 $B_{1} B$ 上一点，且 $B P = λ P B_{1}$ （ $λ$ 为常数），直线 $D_{1} D$ 与平面 $P A C_{1}$ 相交于点Q．则线段 $D_{1} Q$ 的长为．

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三、解答题

17. 某服装公司经过多年发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店．该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到全国各个门店销售．公司为了了解2022年春季新款服装在各个销售门店的销售情况，市场部随机调查了20个销售门店的年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：
门店编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售额
45
33
30
44
28
22
37
21
19
24
门店编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
销售额
34
41
23
20
37
31
29
32
36
42

(1)、从以上20个门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店中至少有2个的年销售额超过40万元的概率；

(2)、以样本频率估计概率，现从全国销售门店中随机抽取3个，记该年春季新款的年销售额超过40万元的销售门店的个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ P B C$ 均是以边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等边三角形，且 $A C = 4$ ．

(1)、证明：平面PAC $⊥$ 平面ABC；

(2)、若点M在线段BC上，且 $B M = \frac{1}{3} B C$ ，求二面角 $M - P A - B$ 的余弦值．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 4$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项之积为 $T_{n}$ ， $b_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $S_{n} = l o g_{\sqrt{3}} (T_{n})$ ．

(1)、求 $T_{n}$ ；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，是否存在正整数n，使得“ $c_{n - 1} = c_{n} + c_{n + 1}$ ”与“ $c_{n}$ 是 $c_{n - 1}$ ， $c_{n + 1}$ 的等差中项”同时成立？请说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} - a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；

(2)、若直线 $y = x - a$ 与曲线 $y = f (x) (x > \frac{\sqrt{2}}{2})$ 相切，求实数a的值．

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21. 过点 $A (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于点 $M ， N$ ( $M$ 在第一象限)，当直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时， $| \vec{M N} | = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、已知 $B (3 ， 0)$ ，延长 $M B$ 交抛物线 $C$ 于点 $P$ ，当 $△ M N P$ 面积最小时，求点 $M$ 的横坐标.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 的方程为： $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ .

(1)、写出圆 $C$ 的一个参数方程；

(2)、若 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是圆 $C$ 上不同的两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，求 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 的最大值.

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23. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，且 $a + 2 b + 3 c = 4$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $\sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \frac{\sqrt{10}}{2}$ ；

(2)、若 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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门店编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售额	45	33	30	44	28	22	37	21	19	24
门店编号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
销售额	34	41	23	20	37	31	29	32	36	42