四川省达州市2023届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 4}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 5 x + 4 \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、[-1，4] B、 $(- 1 ， 4]$ C、(-1，4) D、[-1，4)

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2. 复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $\frac{1}{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 4$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、-128 B、128 C、-64 D、64

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4. 命题p： $\forall x \in R$ ， $2^{x} + x^{2} - x + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} + x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} + x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} + x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} + x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$

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5. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与C的右支交于P，Q两点，则 $| F_{1} P | + | F_{1} Q | - | P Q | =$ （）

A、5 B、6 C、8 D、12

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6. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}} ， b = l o g_{0.2} 3 ， c = t a n \frac{3 π}{8}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型 $y = b_{0} + b_{1} x^{2} - b_{2} x^{3}$ 模拟，其中 $b_{0}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ 均是常数.则下列最符合实际情况的是（）

A、 $b_{2} = 0$ 时，y是偶函数 B、模型函数的图象是中心对称图形 C、若 $b_{1}$ ， $b_{2}$ 均是正数，则y有最大值 D、苹果树负载量的最小值是 $b_{0}$

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} ⊥ \vec{b} ， | \vec{c} - \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{b} - \vec{c} |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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9. 三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D ， A B = A D = \sqrt{6} ， A B ⊥ A D ， △ B C D$ 有两个内角分别为 $30 °$ 和 $60 °$ ，则球 $O$ 的表面积不能是（）

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $32 π$ D、 $48 π$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 18$ ，平面 $A B C$ 内的点 $D$ 、 $E$ 在直线 $A B$ 两侧， $△ A B D$ 与 $△ B C E$ 都是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形， $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 分别是 $△ A B D$ 、 $△ B C E$ 的重心.则 $O_{1} O_{2} =$ （）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、5 D、6

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11. 把腰底比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ： 1$ （比值约为 $0.618$ ，称为黄金比）的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为 $\sqrt{2} ： 1$ （比值约为 $1.414$ ，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的 $\sqrt{2} ： 1$ 的比例关系，常用的 $A 4$ 纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形）， $A D = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} A B$ .图二是长方体， $E F = \sqrt{2}$ ， $E G = 2 E H = 2$ .在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12. 点 $A (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 1 ， y_{0} < 0) ， B ， C$ 均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，若直线 $A B ， A C$ 分别经过两定点 $(- 1 ， 0) ， M (1 ， 4)$ ，则 $B C$ 经过定点 $N$ ，直线 $B C ， M N$ 分别交 $x$ 轴于 $D ， E$ ， $O$ 为原点，记 $| O D | = a ， | D E | = b$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、填空题

13. 若 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式的二项式系数和为64，则展开式中 $x^{4}$ 系数为.

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14. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $A ， B ， C$ 是曲线 $y = f (x)$ 与坐标轴的交点，过点 $C$ 的直线 $y = 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 的另一交点为 $D$ ．若 $| C D | = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| A B | =$ .

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15. 如图， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A D$ 、 $A B$ 、 $C D$ 的中点， $H$ 是 $A C_{1}$ 上的点， $G C_{1} / /$ 平面 $E F H$ .若 $A B = \sqrt{3}$ ，则 $A H =$ .

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16. $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{4}{4 n^{2} - 1}$ ，给出以下四个结论：
① $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2 n - 1}$ ；
② $a_{1} + a_{1} a_{2} + ⋯ + a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} = n^{2} + 2 n$ ；
③ $S_{n} > n + l n (2 n + 1)$ ；
④ $S_{n} > n^{2} + l n (2 n^{2} + 1)$ .
其中正确的是（写出全部正确结论的番号）.

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三、解答题

17. 村民把土地流转给农村经济合作社后，部分村民又成为该合作社职工.下表是某地村民成为合作社职工，再经过职业培训后，个人年收入是否超过10万元的人数抽样统计：

年收入超过10万元
年收入不超过10万元
合计
男
45
5
50
女
75
25
100
合计
120
30
150
附①参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ .
② $K^{2}$ 检验临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
6.635
10.828

(1)、是否有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关？

(2)、根据合同工期要求，合作社要完成A，B，C三种互不影响的产品加工，拟对至少完成其中两种产品加工的职工进行奖励（每个职工都有加工这三种产品的任务），若每人完成A，B，C中任何一种产品加工任务的概率都是0.8，求某职工获奖的概率（结果精确到0.1）.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $A D = 2 A B$ ， $P A = P D$ ， $O$ 、 $E$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P O E$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $P A = 2 \sqrt{5}$ ，求平面 $P O E$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\frac{b}{c o s B} + \frac{c}{c o s C} = \frac{a}{c o s A} + \frac{3 a}{c o s B c o s C}$ .

(1)、求 $t a n B t a n C$ ；

(2)、若 $b c = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最小值.

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20. 已知 $A ， F$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点和右焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于点 $D ， E$ .当 $A$ 到 $l$ 的最大距离为4时， $| D E | = \frac{16}{3}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $C$ 的右顶点为 $B$ ，直线 $A D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B E$ 的斜率 $k_{2}$ .若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，
①求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
②比较 $| F D |$ 与 $k_{2} | F E |$ 的大小.

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21. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - m x - \frac{n}{x}$ （ $m$ 、 $n$ 均为实数）.

(1)、当 $m = 2$ 时，若 $f (x)$ 是单调增函数，求 $n$ 的取值范围；

(2)、当 $n > 0$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = s i n α + \sqrt{2} c o s α ， \\ y = s i n α - \sqrt{2} c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.

(1)、写出C的普通方程和极坐标方程：

(2)、设直线 $θ = β (ρ \in R)$ 与C交于点A，B，求 $| A B |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | \frac{1}{2} x - 1 |$ ， $g (x) = | x - m | + m$ ， $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq g (x)$ .

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、当m取最小值时，证明： $f (x) + g (x) \geq \frac{1}{2} x + 1$ .

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	年收入超过10万元	年收入不超过10万元	合计
男	45	5	50
女	75	25	100
合计	120	30	150

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	6.635	10.828