陕西省铜川市2023届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若全集 $U = {x ∣ 0 < x < 5 ， x \in Z}$ ， $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）.

A、{2} B、{3} C、{4} D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = 3$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，则 $| z_{1} \cdot z_{2} | =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、6

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3. 执行下面的程序框图，则输出S的值为（）

A、 $\sqrt{2020} - 1$ B、 $\sqrt{2021} - 1$ C、 $\sqrt{2022} - 1$ D、 $\sqrt{2023} - 1$

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4. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p₁ ， p₂ ， p₃ ，则

A、p₁=p₂ B、p₁=p₃ C、p₂=p₃ D、p₁=p₂+p₃

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5. 命题：“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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6. 已知 $l o g_{2} a = 0 . 5^{a} = 0 . 2^{b}$ ，则（）

A、 $a < 1 < b$ B、 $1 < a < b$ C、 $b < 1 < a$ D、 $1 < b < a$

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7. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 $3$ ，方差为 $5$ ，乙组数据的平均数为 $5$ ，方差为 $3$ ．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）

A、3.5 B、4 C、4.5 D、5

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8. 等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + 8 a_{5} = 0$ ，设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{5}}{S_{2}}$ =（）

A、-11 B、-8 C、5 D、11

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上分别取点 $M$ 、 $N$ ，使 $\overset{⇀}{A M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C}$ ， $B N$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ，若 $\overset{⇀}{B P} = λ \overset{⇀}{P N}$ ， $\overset{⇀}{P M} = μ \overset{⇀}{C P}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 的值为

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、6

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，直线l经过 $F_{1}$ 且与C左支交于P，Q两点，P在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上， $| P Q | ： | P F_{2} | = 3 ： 4$ ，则C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(A > 0 ， φ > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的函数图象如图所示．若方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， π]$ 有两个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{4 π}{3}$

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12. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点，则下列结论错误的是（）

A、平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ B、三棱锥 $C - P E D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的最小值为 $\frac{π}{6}$ D、 $A E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$

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二、填空题

13. 将四大名著各分一本给甲、乙、丙、丁四人就读，A、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四位旁观者预测分配结果，A说：“甲读《西游记》，乙读《红楼梦》”； $B$ 说：“甲读《水浒传》，丙读《三国演义》”； $C$ 说：“乙读《水浒传》，丙读《西游记》”； $D$ 说：“乙读《西游记》，丁读《三国演义》”.若已知四位旁观者每人预测的两句话中，都是有且只有一句是真的，则可推断丁读的名著是.

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14. 已知函数 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{2}) c o s (x + \frac{π}{4})$ ，若 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且点 $(a_{n} ， S_{n})$ 总在直线 $y = 2 x - 1$ 上，则数列 ${n \cdot a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = t (t \in (0 ， 2))$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（其中点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），记 $△ A B F_{1}$ 面积为 $S$ ，则下列四个结论正确的是.
① $| F_{1} A | + | F_{1} B | = 4 \sqrt{2}$ ② $A F_{1} ⊥ B F_{1}$ 时， $t = \sqrt{3}$
③ $S$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ④当 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ 时，点 $A$ 的横坐标为 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = \frac{1}{s i n B}$ .

(1)、证明： $b^{2} = a c$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，当角 $B$ 取得最大值时，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在斜三棱柱 $A B C - D E F$ 中，底面ABC是边长为2的正三角形， $B D = C D = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ ，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．

(1)、求证：四边形BCFE为矩形；

(2)、求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．

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19. 为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在 $A$ 、 $B$ 两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ ，并整理得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

(2)、以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于 $70 %$ 才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？

(3)、根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区内随机抽取5个人，用 $X$ 表示赞成该小区推行方案的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知点F为抛物线E： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点，点P（−3，2）， $| P F | = 2 \sqrt{5}$ ，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．

(1)、求抛物线E的标准方程；

(2)、求证：直线BC过定点；

(3)、若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S₁ ， S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 2) + l n a - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处取得极值，求 $a$ 的值及函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 - \sqrt{2} t \\ y = 4 + \sqrt{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 s i n θ$ ， $A$ 为曲线 $C$ 上一点.

(1)、求 $A$ 到直线 $l$ 距离的最大值；

(2)、若 $B$ 为直线 $l$ 与曲线 $C$ 第一象限的交点，且 $∠ A O B = \frac{7 π}{12}$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6 - x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为T，正数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = T$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} \geq \frac{16}{3}$ ．

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