黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N | x (x - 5) \leq 0}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 4}$ ，则 $B \cup$ $(∁_{U} A)$ =（）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${2 ， 4 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${0 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 已知复数 $z_{1}$ 与 $z = 3 + i$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{2 + i} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 x^{2} - 1 ， x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1或 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. $5 G$ 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 $2022$ 年 $7$ 月底， $A$ 地区已经累计开通 $5 G$ 基站 $300$ 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 $5 G$ 网络建设．已知 $2022$ 年 $8$ 月该地区计划新建 $50$ 个 $5 G$ 基站，以后每个月比上一个月多建 $40$ 个，则 $A$ 地区到 $2023$ 年 $12$ 月底累计开通 $5 G$ 基站的个数为（）

A、5650 B、5950 C、6290 D、6590

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5. 已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出 $α / / β$ 的是（）

A、l与α，β所成角相等 B、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ C、 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $l / / m$ D、 $l ⊂ α$ ， $m \subset β$ ， $l / / m$

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6. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 $P (c o s \frac{π}{8} - s i n \frac{π}{8} ， c o s \frac{π}{8} + s i n \frac{π}{8})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 若 $C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{n}^{n} x^{n}$ 能被7整除，则x，n的一组值可能为（）

A、 $x = 4$ ， $n = 6$ B、 $x = 4$ ， $n = 8$ C、 $x = 5$ ， $n = 7$ D、 $x = 6$ ， $n = 9$

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8. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3}) - 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) + 1$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的方程 $g (x) = a$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 内的两根，则 $s i n (2 x_{1} + 2 x_{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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二、多选题

9. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆C上，则____．

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 的最大值为3 C、 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$ D、 $F_{1}$ 到直线 $P F_{2}$ 的距离最大值为2

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10. 已知a，b， $c \in (0 ， + \infty)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a < c$ ， $b \leq c$ ，则 $a < b$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{c} > b^{c}$ C、 $a + b + \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} \leq a + b$

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $[1 + f (x)] f (x + 1) + 1 = 0$ ，且当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，则（）

A、 $f (0) = - \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的一个周期为3 C、 $f (x)$ 在 $[2 ， \frac{5}{2})$ 上单调递增 D、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (i) = - 1013$

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12. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A M ⊥ P C$ ， $M$ 为垂足，则下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $M - A B C$ 的外接球的表面积为 $8 π$ . B、三棱锥 $M - A B C$ 的外接球的体积为 $4 \sqrt{2} π$ C、三棱锥 $P - M A B$ 的外接球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ D、三棱锥 $P - M A B$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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三、填空题

13. 请写出满足方程 $3^{x} - \frac{3}{2} = l o g_{5} y$ 的一组实数对 $(x ， y)$ ：．

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14. 一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为．

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15. 已知曲线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} + a x - 2 a^{2}$ 在 $x = t$ 处的切线为 $l_{1}$ ，曲线 $C_{2}$ ： $y = l n x$ 在 $x = t$ 处的切线为 $l_{2}$ ，若存在实数t使得 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角互补，则实数a的取值范围为．

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ ，点P为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P向圆D： $x^{2} + y^{2} - 16 x + 48 = 0$ 作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为，此时直线AB的方程为．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c - \sqrt{3} b s i n A = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c} - b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = \frac{1}{4} c$ ，且BC边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求a．

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18. 在① $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 3 (a_{n} > 0 ， n \in N^{*})$ ， ② $S_{n} = n^{2} - 2 n + 3 (n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列 ${a_{n}}$ 满足____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得 $a_{1}$ ， $a_{n}$ ， $a_{m}$ 成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．

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19. 随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
$(A ， A)$
$(A ， B)$
$(B ， A)$
$(B ， B)$
王同学
9天
6天
12天
3天
张老师
6天
6天
6天
12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1)、估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

(2)、记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， $P (M) > 0$ ，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明： $P (M | N) > P (M | \bar{N})$ ．

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20. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 为正三角形， $M$ 为 $P D$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ .

(2)、当 $A M ⊥ P C$ 时，求平面 $M N D$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2} + \frac{1}{2} (k \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求k的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + (x - 1) e^{x}$ ，当 $0 \leq k < \frac{1}{2}$ 时，判断函数 $g (x)$ 的零点个数．

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22. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且过点 $P (2 ， - 1)$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若动点M，N在双曲线C上，直线PM，PN与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线MN上， $P Q ⊥ M N$ ，证明：存在定点T，使得 $| Q T |$ 为定值．

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选择餐厅情况（午餐，晚餐）	$(A ， A)$	$(A ， B)$	$(B ， A)$	$(B ， B)$
王同学	9天	6天	12天	3天
张老师	6天	6天	6天	12天