广西南宁市2023届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{3 - i^{3}}{2 - i} + i$ ，则z的虚部为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $2 i$ C、2 D、 $\frac{6}{5} i$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{2 - x^{2}}}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- \sqrt{2} ， 1]$ B、 $[- \sqrt{2} ， - 1]$ C、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ D、 $(- \sqrt{2} ， - 1)$

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3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）

A、支出最高值与支出最低值的比是6：1 B、利润最高的月份是2月份 C、第三季度平均收入为50万元 D、1~2月份的支出的变化率与10~11月份的支出的变化率相同

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α - 4 c o s α + 1 = 0$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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5. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、.

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7. 现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 $10 \sqrt{6}$ m（如图所示），则旗杆的高度为（）

A、10m B、30m C、10 $\sqrt{3}$ m D、10 $\sqrt{6}$ m

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9. 已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有共同的焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $e_{2} = \sqrt{3}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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10. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{b}{x}$ 的极值点为1，且 $f^{'} (2) = 1$ ，则 $f (x)$ 的极小值为（）

A、-1 B、 $- a$ C、b D、4

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11. 如图，在矩形 $O A B C$ 中的曲线分别是 $y = s i n x$ ， $y = c o s x$ 的一部分， $A (\frac{π}{2} ， 0)$ ， $C (0 ， 1)$ ，在矩形 $O A B C$ 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为 $P_{1}$ ，取自非阴影部分的概率为 $P_{2}$ ，则（　　）

A、 $P_{1} < P_{2}$ B、 $P_{1} > P_{2}$ C、 $P_{1} = P_{2}$ D、大小关系不能确定

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12. 设 $a = s i n (c o s 2)$ ， $b = c o s (c o s 2)$ ， $c = l n (c o s 1)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - m)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，且满足 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ 和直线 $l ： x + 2 y - 9 = 0$ ，则与直线l平行且与圆C相切的直线方程为.

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15. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点 $A ， B ， C ， D$ 满足 $A B = B C = C D = D A = D B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ $c m$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ $c m$ ，则该“鞠”的表面积为 $c m^{2}$ .

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16. 已知当 $x \in (- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 时，有 $\frac{1}{1 + 2 x} = 1 - 2 x + 4 x^{2} - … + {(- 2 x)}^{n} + …$ ，若对任意的 $x \in (- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 都有 $\frac{x}{(1 - x^{3}) (1 + 2 x)} = a_{0} + a_{1} x + … + a_{n} x^{n} + …$ ，则 $a_{9} =$ .

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{3} = 7$ 且 $a_{3} ， 3 a_{2} ， a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} l o g_{2} a_{n + 1}^{2}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B M N$ 中， $△ P M N$ 是边长为1的正三角形，面 $P M N ⊥$ 面 $A M N$ ， $A N / / B M$ ， $A N ⊥ N P$ ， $A N = 2 B M = 2$ ， C为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $B C / /$ 平面 $P M N$ ；

(2)、线段 $P A$ 上是否存在点F，使二面角 $F - M N - P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{201}}{67}$ ，若存在，求 $P F$ .若不存在，请说明理由.

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19. 随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量（单位：万部）统计表.
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
手机总体出货量y/万部
4.9
4.1
3.9
3.2
3.5
并计算求得 $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 3.7$
附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程；

(2)、预测2023年该市手机总体出货量.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $P (1 ， - 2)$ ，过点 $Q (0 ， - 1)$ 的直线l与抛物线C有两个不同交点A，B，且直线 $P A$ 交y轴于M，直线 $P B$ 变y轴于N.

(1)、求直线l斜率的取值范围；

(2)、证明：存在定点T，使得 $\vec{Q M} = λ \vec{Q T}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q T}$ 且 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = - 4$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x - 1$ ，其中a为常数，e为自然对数底数， $e = 2.71828$ …，若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、证明： $\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{2} - 1} > 2$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C ： {\begin{array}{l} x = c o s α \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 3 - 2 t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线C和直线l的极坐标方程；

(2)、点P在直线l上，射线 $O P$ 交曲线C于点R，点Q在射线 $O P$ 上，且满足 $5 {| O R |}^{2} = 4 | O P | | O Q |$ ，求点Q的轨迹的直角坐标方程.

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23. 已知a，b，c均为正数，且 $a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2} = 4$ ，证明：

(1)、若 $a = c$ ，则 $a b \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

(2)、 $a + 2 b + 3 c \leq 2 \sqrt{6}$ .

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年份	2018年	2019年	2020年	2021年	2022年
年份代码x	1	2	3	4	5
手机总体出货量y/万部	4.9	4.1	3.9	3.2	3.5