广东省广州市2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $a$ 为实数，且 $\frac{7 + a i}{3 + i} = 2 - i$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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2. 已知集合 $A = {x | x = 3 n - 2 ， n \in N^{*}}$ ， $B = {6 ， 7 ， 10 ， 11}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4. 已知 $a = 3^{\frac{2}{3}}$ ， $b = 2^{\frac{3}{4}}$ ， $c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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5. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40 $c m$ 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 $c m$ 的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），过点 $(- a ， 0)$ 且方向向量为 $\vec{n} = (1 ， - 1)$ 的光线，经直线 $y = - b$ 反射后过C的右焦点，则C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ ，若 $f (x) ≤ | f (\frac{π}{3}) |$ 恒成立，且 $f (π) > f (\frac{π}{4})$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}]$ （ $k \in Z$ ） B、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}]$ （ $k \in Z$ ） C、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}]$ （ $k \in Z$ ） D、 $[k π - \frac{2 π}{3} ， k π - \frac{π}{6}]$ （ $k \in Z$ ）

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + e^{- x} + x$ 也是偶函数，若 $f (2 a - 1) < f (a + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）

A、该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B、该零件是次品的概率为0.03 C、如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D、如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 $\frac{1}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4 | x |}{x^{2} + 4}$ 的定义域是 $[a ， b]$ （ $a$ ， $b \in Z$ ），值域为 $[0 ， 1]$ ，则满足条件的整数对 $(a ， b)$ 可以是（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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11. 已知双曲线 $Γ ： x^{2} - y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 的右支交于点 $B$ 、 $C$ ，与双曲线 $Γ$ 的渐近线交于点 $A$ 、 $D$ （ $A$ 、 $B$ 在第一象限， $C$ 、 $D$ 在第四象限）， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $B C ⊥ x$ 轴，则 $△ B C F_{1}$ 的周长为 $6 a$ B、若直线 $O B$ 交双曲线 $Γ$ 的左支于点 $E$ ，则 $B C / / E F_{1}$ C、 $△ A O D$ 面积的最小值为 $4 a^{2}$ D、 $| A B | + | B F_{1} |$ 的取值范围为 $(3 a ， + \infty)$

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12. 已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，点 $M$ ， $N$ 分别为 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 的重心， $P$ 为线段 $C N$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $A P + B P$ 取得最小值，则 $C P = P N$ B、若 $C P = 3 P N$ ，则 $D P ⊥$ 平面 $A B C$ C、若 $D P ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $\frac{27 π}{2}$ D、直线 $M N$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

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三、填空题

13. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布 $N (80 ， σ^{2})$ ，且成绩在 $[80 ， 90]$ 上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为.

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14. 已知 $n \in N^{*}$ ， ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中存在常数项，写出n的一个值为.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ，若 $a_{k} a_{k + 1} = 440$ ，则正整数 $k =$ ．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义 $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 为 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点之间的“折线距离”.已知点 $Q (1 ， 0)$ ，动点P满足 $d (Q ， P) = \frac{1}{2}$ ，点M是曲线 $y = \frac{1}{x^{2}}$ 上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为， $d (P ， M)$ 的最小值为

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四、解答题

17. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{3} = 0$ ， $a_{n + 1} + (- 1)^{n} S_{n} = 2^{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ；

(2)、令 $b_{n} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，求 $b_{2} + b_{4} + b_{6} + ⋯ + b_{2 n}$ .

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18. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $x$ （单位：千万元）对每件产品成本 $y$ （单位：元）的影响，对近 $10$ 年的年技术创新投入 $x_{i}$ 和每件产品成本 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 10)$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\bar{x} = 6.8$ ， $\bar{y} = 70$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}^{2}} = 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{y_{i}}{x_{i}} = 350$ .
参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ 、 $(u_{2} ， v_{2})$ 、 $⋯$ 、 $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据散点图可知，可用函数模型 $y = \frac{b}{x} + a$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，试建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、已知该产品的年销售额 $m$ （单位：千万元）与每件产品成本 $y$ 的关系为 $m = - \frac{y^{2}}{500} + \frac{2 y}{25} + \frac{200}{y - 10} + 100$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $10$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）

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19. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $b c o s A - a c o s B = b - c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $C D = 2 B D$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $t a n ∠ B A D$ .

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 3$ ，点D是 $B C$ 的中点，点E在 $A A_{1}$ 上， $A D / /$ 平面 $B C_{1} E$ .

(1)、求证：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、当三棱锥 $B_{1} - B C_{1} E$ 的体积最大时，求直线 $A C$ 与平面 $B C_{1} E$ 所成角的正弦值.

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21. 已知点 $F (1 ， 0)$ ， P为平面内一动点，以 $P F$ 为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形 $M A N B$ 的面积最小时，求l的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x)$ ， $g (x) = a x^{2} + x$ .

(1)、当 $x > - 1$ 时， $f (x) \leq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明： $s i n \frac{1}{n + 1} + s i n \frac{1}{n + 2} + ⋯ + s i n \frac{1}{2 n} < l n 2$ .

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