广东省佛山市2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | - 3 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x \in R | x^{2} > 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2 ， 3]$ B、 $[- 3 ， + ∞)$ C、 $[- 3 ， - 2) ∪ (2 ， 3]$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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2. 已知 $▱ A B C D$ 的顶点 $A (- 1 ， - 2)$ ， $B (3 ， - 1)$ ， $C (5 ， 6)$ ，则顶点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(2 ， 5)$

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3. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{3} = 3 a_{2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）

A、120种 B、180种 C、240种 D、300种

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5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（）
（参考数据： $9 . 5^{2} \approx 90$ ， $9 . 5^{3} \approx 857$ ， $315 \times 1005 \approx 316600$ ， $π \approx 3.14$ ）

A、 $9064 m^{3}$ B、 $9004 m^{3}$ C、 $8944 m^{3}$ D、 $8884 m^{3}$

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6. 已知方程 $A x^{2} + B y^{2} + C x y + D x + E y + F = 0$ ，其中 $A \geq B \geq C \geq D \geq E \geq F$ ．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（    ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、2 D、0或2

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in (0 ， \frac{3 π}{2})$ ，且 $x_{3} - x_{2} = 2 (x_{2} - x_{1}) = 4 x_{1}$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) > 0$ ，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、多选题

9. 设 $z$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，且 $z_{1} \neq z_{2}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、若 $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z z_{1} = z z_{2}$ ，则 $z = 0$ D、若 $| z - z_{1} | = | z - z_{2} |$ ，则 $z$ 在复平面对应的点在一条直线上

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10. 四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $A B = 3$ ， $B D = 2$ ， $C D = 4$ ，平面 $A B D$ 与平面 $B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A C$ 的值可能为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、 $\sqrt{23}$ C、 $\sqrt{35}$ D、 $\sqrt{41}$

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11. 如图拋物线 $Γ_{1}$ 的顶点为 $A$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l_{1}$ ，焦准距为4；抛物线 $Γ_{2}$ 的顶点为 $B$ ，焦点也为 $F$ ，准线为 $l_{2}$ ，焦准距为6． $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，分别过 $P$ 、 $Q$ 作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过 $F$ 的直线与封闭曲线 $A P B Q$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，则（）

A、 $| A B | = 5$ B、四边形 $M N S T$ 的面积为100 C、 $\vec{F S} \cdot \vec{F T} = 0$ D、 $| C D |$ 的取值范围为 $[5 ， \frac{25}{3}]$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ ，对于任意的实数 $a$ ， $b$ ，下列结论一定成立的有（）

A、若 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b) > 0$ B、若 $a + b > 0$ ，则 $f (a) - f (- b) > 0$ C、若 $f (a) + f (b) > 0$ ，则 $a + b > 0$ D、若 $f (a) + f (b) < 0$ ，则 $a + b < 0$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ 有2个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + f (x_{1}) + f (x_{2}) =$ ．

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14. 佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 $X \sim N (800 ， σ^{2})$ ，且 $P (X < 801) = 0.6$ ，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 $Y$ 表示 $800 \leq X < 801$ 的瓷砖片数，则 $E (Y) =$ ．

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15. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则 $s i n ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最大值为．

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16. 有 $n$ 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第 $n$ 个盒子中取到白球的概率是．

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四、解答题

17. 2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013~2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国内游客数y
3262
3611
3990
4432
5000
5542
6006
2879
3246
2530
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \hat{y} - \hat{b} \hat{x}$
参考数据： $\sum_{i = 1} y_{i} = 31843$ ， $\sum_{i = 1} (x_{i} - 4) (y_{i} - 4549) = 13104$

(1)、2020年~2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，…，7）建立国内游客人数 $y$ 关于年份代号 $x$ 的一元线性回归模型；

(2)、2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．

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18. 已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c o s A + s i n B = \sqrt{3} (s i n A + c o s B)$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、已知点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A D = B D = 2$ ，求 $C D$ 的取值范围．

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19. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n + 2} - 6$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为数列 ${S_{n}}$ 在区间 $(a_{m} ， a_{m + 2})$ 中最大的项，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中， $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 是 $P C$ ， $A D$ 的中点．

(1)、若要经过点 $E$ 和棱 $A B$ 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；

(2)、若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．

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21. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，焦距为4，过右焦点 $F$ 作垂直于实轴的直线交 $C$ 于 $B$ 、 $D$ 两点，且 $△ A B D$ 是直角三角形．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $M$ 、 $N$ 是 $C$ 右支上的两动点，设直线 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - 2$ ，求点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离 $d$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a} e^{x} - 3 x$ ，其中 $a \neq 0$ ．

(1)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq a (1 - 2 s i n x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
年份代码x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
国内游客数y	3262	3611	3990	4432	5000	5542	6006	2879	3246	2530