【高考真题】2022年新高考数学真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：高考真卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2} ， B = {- 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， - 1 ， 1 ， 2}$

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2. “ $x$ 为整数”是“ $2 x + 1$ 为整数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x}$ 的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： $k P a$ ）的分组区间为 $[12 ， 13) ， [13 ， 14) ， [14 ， 15) ， [15 ， 16) ， [16 ， 17]$ ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）

A、8 B、12 C、16 D、18

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5. 已知 $a = 2^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{0.7}$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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6. 化简 $(2 l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{5} x ， F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点A，若 $∠ F_{1} F_{2} A = \frac{π}{4}$ ，则双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{10} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

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8. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 $120 °$ ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A、23 B、24 C、26 D、27

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9. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
③当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ ；
④ $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

10. 已知 $i$ 是虚数单位，化简 $\frac{11 - 3 i}{1 + 2 i}$ 的结果为．

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11. ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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12. 若直线 $x - y + m = 0 (m > 0)$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 相交所得的弦长为 $m$ ，则 $m =$ ．

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13. 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为

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14. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b}$ ， D是AC中点， $\vec{C B} = 2 \vec{B E}$ ，试用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{D E}$ 为，若 $\vec{A B} ⊥ \vec{D E}$ ，则 $∠ A C B$ 的最大值为

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15. 设 $a \in R$ ，对任意实数x，记 $f (x) = m i n {| x | - 2 ， x^{2} - a x + 3 a - 5}$ ．若 $f (x)$ 至少有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{6} ， b = 2 c ， c o s A = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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17. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2 ， A A_{1} ⊥ A B ， A C ⊥ A B$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，E为 $A A_{1}$ 的中点，F为 $C D$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成二面角的余弦值．

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18. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $(S_{n + 1} + a_{n + 1}) b_{n} = S_{n + 1} b_{n + 1} - S_{n} b_{n}$ ；

(3)、求 $\sum_{k = 1}^{2 n} [a_{k + 1} - (- 1)^{k} a_{k}] b_{k}$ ．

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19. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 $\frac{| B F |}{| A B |} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)、直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 $| O M | = | O N |$ ，且 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．

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20. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x ， g (x) = b \sqrt{x}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 有公共点，
（i）当 $a = 0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > e$ ．

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