天津市南开区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $- 2 \times (- 3)$ 的结果是（）

A、 $- 6$ B、 $- 5$ C、6 D、5

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2. $c o s 45 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（）

A、 $6.75 \times 1 0^{3}$ B、 $6.75 \times 1 0^{4}$ C、 $67.5 \times 1 0^{5}$ D、 $67.5 \times 1 0^{4}$

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4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）.

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $2 \sqrt{5}$ 的值在（）

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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7. 化简 $\frac{m^{2}}{1 - m} + \frac{1}{m - 1}$ 的结果为（）

A、 $m + 1$ B、 $m - 1$ C、 $- m - 1$ D、 $1 - m$

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8. 点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 、 $C (x_{3} ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，若 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1} 、 y_{2} 、 y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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9. 方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2})$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、1 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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10. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点B的坐标为 $(2 ， 3)$ ，则 $A C$ 长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{5}$ D、4

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11. 如图，等腰 $△ A B C$ 的顶角 $∠ A = 36 °$ ，若将其绕点 $C$ 顺时针旋转 $36 °$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，点 $B^{'}$ 在 $A B$ 边上， $A^{'} B^{'}$ 交 $A C$ 于 $E$ ，连接 $A A^{'}$ ．有下列结论：① $△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C$ ；②四边形 $A^{'} A B C$ 是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a \neq 0$ ）的自变量x与函数值，y的部分对应值如下表：
x
…
$- 3$
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{3}$
$x_{4}$
1
…
y
…
m
0
c
0
n
m
…
其中 $- 3 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < 1 ， n < m$ ，有下列结论：① $b - 2 a = 0$ ；② $a b c < 0$ ；③ $3 a + c > 0$ ；④关于x的方程 $m = a x^{2} + b x + c$ 的两根为1和 $- 3$ ．其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 计算 $(- 3 b)^{3}$ 的结果是．

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14. 计算 $(3 + \sqrt{11}) (3 - \sqrt{11})$ 的结果等于．

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15. 一个不透明的袋中装有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别．从中任意摸出1个球是蓝球的概率为．

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16. 若一次函数 $y = k x + 1$ （k为常数）的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是（写出一个即可）．

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，过B作 $B G ⊥ A E$ 于G，延长 $B G$ 至点F使 $∠ C F B = 45 °$ ，延长 $F C 、 A E$ 交于点M，连接 $B M$ ，若C为 $F M$ 中点， $B M = 10$ ，则 $F G$ 的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点A，B，C均为格点．

(1)、圆的直径长为；

(2)、请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，确定格点E，使 $E A$ 为圆的一条切线，并画出过点E的另一条切线 $E F$ ，切点为F，请简要说明切线 $E F$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) \leq 5 x + 1 ， ① \\ 6 x + 1 < \frac{15 - x}{2} ② \end{array}$ 请按下列步骤完成解答：

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)、原不等式组的解集为．

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20. 某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、图①中的m值为；此次抽样随机抽取了口罩枚；

(2)、求统计的这些数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？

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21. 已知：在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径，P为射线 $A B$ 上一点，过点P作 $⊙ O$ 的切线，切点为点C，D为弧 $A C$ 上一点，连接 $B D 、 B C 、 D C$ ．

(1)、如图1，若 $∠ D = 28 °$ ，求 $∠ P$ 的度数；

(2)、如图2，若四边形 $C D B P$ 为平行四边形， $B C = 5$ ，求 $C P$ 的长．

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22. 如图，建筑物 $B C$ 上有一高为 $8 m$ 的旗杆 $A B$ ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 $53 °$ ，观测旗杆底部B的仰角为 $45 °$ ，则建筑物 $B C$ 的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据 $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ）

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23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、书店、超市依次在同一条直线上，书店离家 $1.5 k m$ ，超市离家 $2.9 k m$ ，周末小明先匀速骑行 $10 m i n$ 到超市停留了 $7 m i n$ 购买一些文具；然后匀速骑行 $5 m i n$ 到书店；在书店停留了 $24 m i n$ 后，匀速骑行了 $7 m i n$ 返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离y（单位： $k m$ ）与离开家的时间x（单位： $m i n$ ）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填表：
离开家的时间（单位： $m i n$ ）
5
10
15
22
53
离家的距离（单位： $k m$ ）
2.9
1.5
0

(2)、填空：
①书店到超市的距离为 $k m$ ；
②小明从超市到书店的速度 $k m / m i n$ ；
③小明从书店返回家的速度为 $k m / m i n$ ；
④当小明离家的距离为 $1 k m$ 时，他离开家的时间为 $m i n$ ．

(3)、当 $0 \leq x \leq 22$ 时，请直接写出y关于x的函数解析式．

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24. 已知，在平面直角坐标系内有四边形 $O A B C$ ，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中 $∠ O A B = 90 °$ ，且点B坐标为 $(10 ， 8) ， O C = 16$ ， y轴上有一点D，将 $△ A D B$ 沿 $B D$ 折叠，点A的对应点E在x轴上．

(1)、如图1，求线段 $B C$ 的长度和点D的坐标；

(2)、将四边形 $A O E B$ 沿x轴向右平移，得到四边形形 $A^{'} O^{'} E^{'} B^{'}$ ，点A，O，E，B的对应点分别为 $A^{'} ， O^{'} ， E^{'} ， B^{'}$ ．当点 $E^{'}$ 到达点C时停止平移．设 $O O^{'} = t$ ，四边形 $A^{'} O^{'} E^{'} B^{'}$ 与 $△ B E C$ 重叠部分的面积为S．
①如图2，当四边形 $A^{'} O^{'} E^{'} B^{'}$ 与 $△ B E C$ 重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 $3 \leq t \leq 11$ 时，直接写出S的取值范围．

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25. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a \neq 0$ ）的顶点为D，与x轴相交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $M (0 ， 4)$ 是y轴上的一个定点．

(1)、若 $b = 3$ ，且抛物线过定点M，求抛物线解析式和顶点D的坐标；

(2)、已知抛物线的顶点D在x轴上方，且点D在直线 $y = x + 2$ 上．
①若 $D M = D A$ ，求抛物线解析式和顶点D的坐标；
②若点E是直线 $A M$ 上的动点，点F是x轴上的动点，当 $△ E D F$ 的周长的最小值 $\frac{12}{5} \sqrt{10}$ 时，直接写出抛物线的顶点D的坐标．

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离开家的时间（单位： $m i n$ ）	5	10	15	22	53
离家的距离（单位： $k m$ ）		2.9		1.5	0

x	…	$- 3$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	1	…
y	…	m	0	c	0	n	m	…