山西省忻州市原平市2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -6的绝对值为（）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- 6$ D、 $6$

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2. 如图所示的是由4个大小相同的小正方体搭建而成的几何体，则该几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2022年12月26日是伟大领袖毛主席诞辰129周年纪念日，伟人在他的诗词中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，那么数据“八万里”用科学记数法可表示为（）

A、 $8 \times 1 0^{4}$ 里 B、 $8 \times 1 0^{5}$ 里 C、 $0.8 \times 1 0^{5}$ 里 D、 $8 \times 1 0^{3}$ 里

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $4 m^{2} - 3 m^{2} = 1$ B、 $6 m^{2} \div 2 m = 3 m$ C、 ${(1 + m)}^{2} = 1 + m + m^{2}$ D、 ${(- 3 m^{2} n)}^{2} = 9 m^{2} n$

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5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段 $B C = \frac{8}{5} c m$ ，则线段 $A B$ 的长是（）

A、 $\frac{2}{5}$ $c m$ B、 $\frac{4}{5}$ $c m$ C、 $\frac{9}{5}$ $c m$ D、2 $c m$

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6. 将不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 > 2 \\ \frac{x}{3} \leq 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 小明坚持每天进行体育锻炼，如表是小明近一周的体育锻炼时间表：
日期
$12.12$
$12.13$
$12.14$
$12.15$
$12.16$
$12.17$
$12.18$
时间（分钟）
$35$
$41$
$47$
$47$
$41$
$50$
$41$
则这组数据的中位数和众数分别是（）

A、 $41$ ， $47$ B、 $44$ ， $47$ C、 $41$ ， $41$ D、 $44$ ， $41$

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8. 如图，点A，B，C均在⊙O上，若 $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ O A C$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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9. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + \frac{5}{8} x + \frac{3}{2}$ ，则小康这次实心球训练的成绩为（）

A、14米 B、12米 C、11米 D、10米

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A D C = 120 °$ ， $A B = 4$ ，扇形 $B E F$ 的半径为4，圆心角为 $60 °$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{8 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ C、 $2 π - 4 \sqrt{3}$ D、 $2 π - 2 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ =

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12. 如图所示的是一组有规律的图案，则第n个图案中“”的个数为．（用含n的代数式表示）

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13. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作 $A C ⊥ y$ 轴于点C，若 $S_{△ A C D} = 6$ ，则k= ．

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14. $2023$ 年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客 $26$ 人．则1艘大船可以满载游客的人数为．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，边长为 $2 + 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， E，F分别是边 $A B ， B C$ 上的点，且 $A E = 2$ ，若将 $△ E B F$ 沿着 $E F$ 折叠，使得点B恰好落在 $A D$ 边上的点 $B^{'}$ 处， $E B^{'} ∥ B D$ ，折痕为 $E F$ ，则 $A B^{'}$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{8} - (- 2 \sqrt{3})^{0} + (- \frac{1}{3})^{- 1}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 2 x = 9$ ．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、以 $A C$ 为直径，利用尺规作 $⊙ O ， ⊙ O$ 交 $A B$ 于点D．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、在（1）中所作的图中，若 $t a n ∠ B C D = \frac{3}{4}$ ， $B C = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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18. 布艺手袋因节能时尚，成为学生一族的新宠．该商店用1200元购进第一批布艺手袋，很快售罄，于是又花费4500元购进第二批布艺手袋，所购数量是第一批的2倍，已知第二批布艺手袋的单价比第一批布艺手袋的单价贵7元，求第一批购进的布艺手袋的单价．

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19. 为了贯彻落实国务院提出的“健康第一”的指导思想，切实加强学校体育工作，使学生养成良好的锻炼习惯，提高学生体质的健康水平，《国家中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准如表：
等级
A：优秀
B：良好
C：及格
D：不及格
分数（x/分）
$86 \leq x \leq 100$
$76 \leq x < 86$
$60 \leq x < 76$
$0 \leq x < 60$
太原市某校从九年级学生中随机抽取了400名学生进行了体质测试，将调查结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

(1)、在这被抽查的九年级学生中，优秀的有人，及格的有人．

(2)、求所抽取的400名学生的平均分．

(3)、该校校委会决定从获得优秀奖成绩前三名学生中选取2名同学参加省体质测试，已知前三名学生中只有1名男生，请用列表或画树状图的方法求所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

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20. 阅读与思考．

纯几何法验证勾股定理我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达·芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法．

如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，先证明 $△ A C D ∽ △ A B C$ ，可得 $A C^{2} = A D \cdot A B$ ，再证明 $△ B C D ∽ △ B A C$ ，可得 $B C^{2} = B D \cdot A B$ ，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法．

阅读下列材料，并完成相应的任务．

(1)、根据材料中的方法，请写出完整的证明过程．

(2)、如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若

a = 3 ， b = 10

，求该矩形的面积．

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21. 如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部组成，图2是它的简易平面图．小明想知道灯管 $D$ 距地面 $A F$ 的高度，他在地面 $F$ 处测得灯管 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，在地面 $E$ 处测得在灯管 $D$ 仰角为 $53 °$ ，并测得 $E F = 2.2 m$ ，已知点 $A$ ， $E$ ， $F$ 在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管 $D$ 距地面 $A F$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）．

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22.

(1)、综合与实践
问题情境：如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， D，E分别是 $A C$ ， $B C$ 的中点，连接 $D E$ ．
如图2，将 $△ C D E$ 绕着点C逆时针旋转 $a °$ ，连接BE和 $A D$ ，小明发现 $A D = B E$ ， $B E ⊥ A D$ ，请你证明该结论．

(2)、猜想探究：
如图3，将 $△ C D E$ 绕着点C逆时针旋转 $a ° (0 < α < 90)$ ，此时恰好有 $C E ⊥ B E$ ，连接 $A D$ ，延长 $B E$ ，交 $A D$ 于点F，试猜想四边形 $C D F E$ 的形状，并说明理由．
拓展探究：

(3)、如图4，将 $△ C D E$ 绕着点C逆时针旋转 $a ° (90 < α < 270)$ ，直接写出四边形 $A E D B$ 的面积的最大值．

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23. 综合与探究．
如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 经过 $(2 ， - 3)$ ， $(- 2 ， 3)$ ，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、求证： $△ A O C ∼ △ C O B$ ．

(3)、如图2，动点P从点B出发，沿着线段 $B A$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段 $A C$ 向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接 $P Q$ ，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中， $△ A P Q$ 是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

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日期	$12.12$	$12.13$	$12.14$	$12.15$	$12.16$	$12.17$	$12.18$
时间（分钟）	$35$	$41$	$47$	$47$	$41$	$50$	$41$

等级	A：优秀	B：良好	C：及格	D：不及格
分数（x/分）	$86 \leq x \leq 100$	$76 \leq x < 86$	$60 \leq x < 76$	$0 \leq x < 60$