山东省聊城市东阿县2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数：3.14159， $\sqrt[3]{64}$ ， 1.010 010 001， $\sqrt{7}$ ， $π$ ， $\frac{2}{7}$ 中，无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（）

A、主视图 B、左视图 C、俯视图 D、主视图和左视图

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{6}$ B、 $- (m - n) = - m + n$ C、 $m (m + n) = m^{2} + n$ D、 $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - \sqrt{8} = - \sqrt{2}$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，过点A作 $A M ∥ B C$ ，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C ， B C$ 于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于 $\frac{1}{2} F G$ 的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线 $C H$ 交 $A B$ 于点E，交 $A M$ 于点D，若 $A E ： E B = 1 ： 2$ ．则 $\frac{A D}{E C}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式 $s^{2} = \frac{(2 - \bar{x})^{2} + (3 - \bar{x})^{2} + (3 - \bar{x})^{2} + (4 - \bar{x})^{2}}{n}$ ，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（）

A、2.5，3 B、3，3 C、3，2.5 D、3，4

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7. 如图， $P A$ 、 $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ 、 $B$ ，连接 $P O$ 并延长与 $⊙ O$ 交于点 $C$ 、 $D$ ，若 $C D = 12$ ， $P A = 8$ ，则 $s i n ∠ A D B$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 如图， $Δ O A B$ 中， $∠ A O B = 60 ° ， O A = 4$ ，点B的坐标为 $(6 ， 0)$ ，将 $Δ O A B$ 绕点A逆时针旋转得到 $Δ C A D$ ，当点O的对应点C落在 $O B$ 上时，点D的坐标为（）

A、 $(5 \sqrt{3} ， 5 \sqrt{3})$ B、 $(5 \sqrt{3} ， 5)$ C、 $(7 ， 5)$ D、 $(7 ， 3 \sqrt{3})$

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9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 $\sqrt{2}$ ，则△EFC的周长为（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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10. 某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程 $y (k m)$ 与所用时间 $t (h)$ 的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（）

A、5：00 B、6：00 C、7：00 D、8：00

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11. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x + a}{x - 2} = - 1$ 的解是正数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < 2$ B、 $a > 2$ C、 $a < 2$ 且 $a \neq - 4$ D、 $a > 2$ 且 $a \neq 4$

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12. 如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且 $B F = \frac{1}{2} C F$ ，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x， $E F + E C = y$ ， y随x变化的函数图象如图2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（）

A、 $(\frac{3}{2} ， 2 \sqrt{10})$ B、 $(3 ， 3 \sqrt{2} + \sqrt{10})$ C、 $(2 ， 2 + 2 \sqrt{10})$ D、 $(\frac{7}{4} ， 2 \sqrt{10})$

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二、填空题

13. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 5 = 0$ 化成 $(x + a)^{2} = b$ （a，b 为常数）的形式，则ab＝．

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14. 如图，已知矩形纸片ABCD， $A D = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．

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15. 从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是.

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， A B = 8$ ，点D是边 $A B$ 的中点，点P是边 $B C$ 上一动点，连接 $P D$ ，将线段 $P D$ 绕点P顺时针旋转，使点D的对应点 $D^{'}$ 落在边 $A C$ 上，连接 $D D^{'}$ ，若 $△ A D D^{'}$ 为直角三角形，则 $B P$ 的长为．

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17. 如图，正方形 $A B C B_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A B$ 与直线l所夹锐角为 $60 °$ ，延长 $C B_{1}$ 交直线l于点 $A_{1}$ ，作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} B_{2}$ ，延长 $C_{1} B_{2}$ 交直线l于点 $A_{2}$ ，作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} B_{3}$ ，延长 $C_{2} B_{3}$ 交直线l于点 $A_{3}$ ，作正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} B_{4}$ ， …，依此规律，则线段 $A_{2022} A_{2023} =$ ．

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三、解答题

18. 计算：（ $\frac{1}{2}$ ）^-1- 2sin 45°+ |1- $\sqrt{2}$ |．

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19. 先化简 $(\frac{a}{a^{2} - 4} + \frac{1}{2 - a}) \div \frac{2 a + 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，再求值，其中 $a = \sqrt{3} + 2$ ．

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20. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目 $A$ ：足球；项目 $B$ ：篮球；项目 $C$ ：跳绳；项目 $D$ ：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．

(1)、本次调查的学生共有人；在扇形统计图中， $B$ 所对应的扇形的圆心角的度数是 $°$ ；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， CD是 $R t △ A B C$ 斜边上的中线， $C E ∥ A B$ ， $C E = A D$ ．

(1)、求证：四边形BDCE是菱形；

(2)、过点E作 $E F ⊥ B D$ ，垂足为点F，若点F是BD的中点， $E B = 8$ ，求BC的长．

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22. 某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解， $8$ 只“冰墩墩”和 $10$ 只“雪容融”的进价共计 $2000$ 元； $10$ 只“冰墩墩”和 $20$ 只“雪容融”的进价共计 $3100$ 元．

(1)、求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．

(2)、该专卖店计划恰好用 $4500$ 元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．

(3)、若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是 $200$ 元， $100$ 元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．

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23. 如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东 $25 °$ 方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西 $28 °$ 方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东 $58 °$ 方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）．

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24. 如图，一次函数 $y_{1} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A (a ， - 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ 两点，且一次函数y的图象交x轴于点C，交y轴于点D.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、在第四象限的反比例图象上有一点P，使得 $S_{△ O C P} = 6 S_{△ O B D}$ ，请求出点P的坐标：

(3)、对于反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ ，当 $y \leq 3$ 时，直接写出x的取值范围.

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25. 如图，点O是 $△ A B C$ 的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作 $⊙ O$ ，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F， $∠ A O D = ∠ E O D$ ．

(1)、连接AF，求证：AF是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $F C = 10$ ， $A C = 6$ ，求FD的长．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (4 ， 0)$ 和 $B (- 1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是直线 $A C$ 下方的抛物线上一动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交直线 $A C$ 于点 $E$ ，求线段 $P E$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、取（2）中 $P E$ 最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点 $Q$ ，使得以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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